Was ist falsch an dieser Argumentation bezüglich der speziellen Relativitätstheorie?

„Schuld“ ist wie so oft die Relativität der Gleichzeitigkeit. Im$S$Rahmen, die Ereignisse von A sind an Ort und Stelle$.75ct$und B ist bei$.25ct$gleichzeitig sind, aber das ist nicht der Fall in der$A$Rahmen oder die$B$rahmen.

Sie können nicht einfach die verwenden$\gamma$getrennt nach Entfernung und Zeit und kombinieren Sie sie, müssen Sie die vollständige Lorentz-Transformation verwenden, um zu transformieren$(t, x)$Koordinaten zwischen Frames.

Glücklicherweise können wir für diesen einfachen Fall die relativistische Formel zur Addition und Subtraktion von Geschwindigkeiten verwenden , die sich aus der Lorentz-Transformation ableiten lässt. Mit geometrischen Einheiten, wo$c=1$, die Formel lautet:

Setzen wir Ihre Geschwindigkeiten ein, erhalten wir:

Sowohl die zurückgelegte Strecke als auch die verstrichene Zeit werden mit multipliziert$\gamma$, wenn Sie also einfach die Entfernung zwischen den beiden Schiffen durch die verstrichene Zeit teilen würden, würden Sie 0,5 c erhalten. Lorentz-Boosts skalieren jedoch nicht einfach Raum und Zeit, sie wandeln etwas Zeit in Raum und etwas Raum in Zeit um.

Stell dir mal vor$t_0$Sie sollten die Positionen von messen$A$Und$B$in S. Nennen Sie diese$A_0, B_0$bzw. Dann misst du sie erneut an$t_1$. Rufen Sie diese an$A_1, B_1$. Das wirst du finden$((A_1-B_1)-(A_0-B_0))/(t_1-t_0)=.5c$, dh der Abstand zwischen ihnen nimmt bei .5c zu. Nehmen wir nun an, Sie messen sie im Bezugssystem von$B$. Nennen wir sie$A_0', B_0', A_1', B_1'$. Wenn jemand auf Raumschiff B rechnet$(A_1'-B_1')-(A_0'-B_0')$Und$t_1-t_0$, werden sie feststellen, dass beide mit multipliziert wurden$\gamma$, und so werden sie mit S übereinstimmen, dass das Verhältnis 0,5c ist.

Aber sie werden nicht zustimmen, dass daraus folgt$A$reist bei .5c relativ zu ihnen. Das Wichtigste, woran man sich in der Relativitätstheorie erinnern sollte, ist, dass alles vierdimensional ist.$A_1$Und$B_1$sind Ereignisse in der Raumzeit. Jemand in S sagt, dass sie die Position von sind$A$Und$B$zum Zeitpunkt$t_1$, und wird dann sagen, dass wir den Abstand zwischen finden können$A$Und$B$indem$A_1-B_1$. In der Relativitätstheorie gibt es jedoch kein universelles Konzept der Gleichzeitigkeit. Jemand in S wird das sagen$A_1$Und$B_1$sind die Positionen, die$A$Und$B$gleichzeitig haben. Jemand in Raumschiff B wird jedoch sagen: "Nein, das sind Positionen von$A$Und$B$zu unterschiedlichen Zeiten. Wenn wir den Abstand zwischen den beiden Raumschiffen wollen, müssen wir ihre Positionen zur gleichen Zeit einnehmen.“ Wenn sie sich ansehen, wo sich Raumschiff B zur „gleichen“ Zeit befindet, sehen sie eine Zeit, von der S sagt, dass sie später ist. B wird deshalb sagen, dass der Abstand zwischen den Raumschiffen größer ist, und somit das sagen$A$fährt schneller als .5c.