Ableitung der Lorentz-Transformation der speziellen Relativitätstheorie mit einem stationären und einem sich bewegenden Beobachter

Um 56:59 dieses Vortrags von Prof. Shankar präsentiert einen Beweis für die Lorentz-Transformation mit einem Beobachter in Ruhe und einem anderen, der sich mit einer Geschwindigkeit bewegt$u$auf die folgende Weise:

Lassen$(x,t)$seien die Koordinaten des ruhenden Beobachters und$(x',t')$seien die Koordinaten des sich bewegenden Beobachters. In Anbetracht der Relativitätspostulate wurde Folgendes motiviert:

$$x'= \gamma(x-ut) \tag{1}$$ $$x= (x' + ut')\gamma \tag{2}$$ Multiplizieren Sie (1) und (2) und mit etwas Algebra: $$1= \gamma^2 \left[1+ u \frac{t'}{x'} - u \frac{t}{x}-u^2 \frac{t}{x} \frac{t'}{x'} \right]$$ Bei 55:38 sagt der Professor das$x=ct$Und$x'=ct'$, somit, $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{ 1- \frac{u^2}{c^2}}}$$

Der letzte Schritt ist, wo ich feststecke, dh:$x=ct$Und$x'=ct'$. Ich bin hier etwas verwirrt, weil die Koordinatenfunktionen der Lichtgeschwindigkeit mal der Zeit entsprechen müssen. Ich hoffe auf eine Antwort, die diese beiden Gleichheiten klarer erklärt.