Synchronisation von Uhren und spezielle Relativitätstheorie

Die Uhren werden dann zeitsynchronisiert$t_0$[...]

Welche Uhren und in welchem ​​Rahmen? Man muss immer bedenken, dass die Synchronisation von Uhren, die an unterschiedlichen Stellen im Raum stehen, eine Frame-abhängige Eigenschaft ist. Ich nehme an, du meinst die Uhren$A$Und$B$werden im Ruhebild bei synchronisiert$A$(oder$B$) und dass die Uhr auf dem Raumschiff mit der Uhr synchronisiert ist$A$wie es vorbeigeht. Beachten Sie jedoch, dass in diesem Fall die Uhr um$B$nicht mit den anderen im Ruhesystem des Schiffs synchronisiert .

Wenn Raumschiff auf B trifft, zeigt das erste Szenario, dass die Stabuhr einen größeren Zeitwert als die Raumschiffuhr zeigt, während das zweite Szenario das Gegenteil zeigt. Beides kann nicht wahr sein, da eines auftreten muss, wenn B und Raumschiff aufeinander treffen.

Der$t_2$auf das Sie sich in Ihrem ersten Szenario beziehen, unterscheidet sich von dem$t_2$in Ihrem zweiten Szenario. Im ersten Fall nach der Uhr um$B$, das Schiff kommt an$B$zum Zeitpunkt$t_2 = L/u$, Wo$L$ist der Abstand zwischen$A$Und$B$im Ruhesystem des Beobachters bei$B$. Die Schiffsuhr liest$T = t_2/\gamma = L/u\gamma$, Wo$\gamma = (1-u^2/c^2)^{-1/2}$.

Im zweiten Szenario sieht ein Beobachter auf dem Schiff die Stangenlänge zusammengezogen, mit scheinbarer Länge$L' = L/\gamma$. Dementsprechend Punkt$B$erreicht das Schiff, wenn die Schiffsuhr anzeigt$T=L'/u = L/u\gamma$, in Übereinstimmung mit der vorherigen Berechnung.

Desweiteren wird im zweiten Szenario die Uhr um$B$wurde nie mit der Schiffsuhr synchronisiert. Lassen$(x',t')$seien die Koordinaten im Schiffsrahmen und$(x,t)$seien die Koordinaten im Erdrahmen, zentriert um Uhr$A$. Das Ereignis$(x,t)=(x',t')=(0,0)$entspricht der Schiffsdurchfahrtsuhr$A$. Nach den Lorentz-Transformationsgleichungen gilt

$$t' = \gamma\left(t-\frac{ux}{c^2}\right)$$ Wenn das Schiff Uhr passiert$A$, dann liest die Schiffsuhr$t'=0$, und Uhr$A$(der sitzt bei$x=0$) liest sich auch$t=0$. Allerdings Uhr$B$sitzt an$x=L$, was bedeutet, dass $$t - \frac{uL}{c^2} = 0 \implies t = \frac{uL}{c^2}$$ Mit anderen Worten, Uhr$B$beginnt mit einem Versatz von$uL/c^2$laut dem Beobachter auf dem Schiff.

In Anbetracht dessen würde der Relativist, der auf dem Schiff fährt, dies erkennen, wenn sie die Uhr erreicht$B$, dann würde es lesen

$$t_2 =T/\gamma + \frac{uL}{c^2}=\frac{L}{u\gamma^2} + \frac{uL}{c^2} = \frac{L}{u}\left(\frac{1}{\gamma^2} +\frac{u^2}{c^2}\right) = \frac{L}{u}$$ wobei der erste Term der Wert auf der Schiffsuhr dividiert durch ist$\gamma$(aufgrund der Zeitdilatation) und der zweite Term ist der anfängliche Offset auf der Uhr$B$. Dies stimmt erwartungsgemäß voll und ganz mit unseren bisherigen Berechnungen überein.

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"Beachten Sie jedoch, dass in diesem Fall die Uhr bei B nicht mit der Uhr auf dem Schiff synchronisiert wird." Ich fürchte, ich verstehe das nicht; da A mit B synchronisiert ist und die Schiffsuhr mit A synchronisiert ist, warum sind dann die drei Uhren nicht synchronisiert?

Dies ist ein ziemlich subtiler Punkt, der einer näheren Erläuterung bedarf. Ein Referenzrahmen kann als ein imaginäres Gitter aus Messlatten verstanden werden, an dessen Punkten jeweils eine Uhr sitzt. Ereignisse werden durch die Position gekennzeichnet$x$wo sie auftreten und zu einer Zeit$t$ wie auf der Uhr abgelesen, die sitzt$x$. Dies ist entscheidend – der Zeitpunkt eines Ereignisses ist lokal .

Im Prinzip haben die an jedem Gitterpunkt sitzenden Uhren nichts miteinander zu tun. Um einen sinnvollen Referenzrahmen zu erstellen, müssen wir sie irgendwie synchronisieren, zB über die Einstein-Synchronisation . Allerdings können wir uns jetzt vorstellen, dass ein zweiter Beobachter, der sich relativ zu uns bewegt, ein eigenes Bezugssystem hat. Die Schlüsselerkenntnis der speziellen Relativitätstheorie ist, dass, wenn sowohl wir als auch der sich bewegende Beobachter unser jeweiliges Uhrensystem synchronisieren, jeder die Uhren des anderen als nicht synchron beobachten wird.

Die spezifische Beziehung zwischen unseren Rahmen ist durch die Lorentz-Transformationsgleichungen gegeben. Lassen Sie meine Koordinaten sein$(x,t)$und die Koordinaten des sich bewegenden Beobachters sein$(x',t')$; Dann

$$x' = \gamma\big(x-ct\big)$$ $$t' = \gamma\big(t - \frac{vx}{c^2}\big)$$

Betrachten Sie zwei Ereignisse - das erste tritt auf$x=0$Und$t=0$, während die zweite bei auftritt$x=L$Und$t=0$. Das heißt, die Koordinaten, die ich dem ersten Ereignis zuweise, sind$(0,0$), und die Koordinaten, die ich dem zweiten Ereignis zuweise, sind$(L,0)$. Auch die Koordinaten, die der bewegte Beobachter dem ersten Ereignis zuordnet $(0,0)$, aber die Koordinaten, die sie dem zweiten Ereignis zuweisen, sind

$$x' = \gamma L$$ $$t' = -\gamma \frac{vL}{c^2}$$

Während ich also sagen würde, dass die beiden Ereignisse gleichzeitig stattfinden (beide treten um$t=0$), wird der sich bewegende Beobachter sagen, dass sie es nicht sind (man tritt bei auf$t'=0$, und die andere bei$t' = -\gamma vL/c^2$).

In Übereinstimmung mit Ihrer ursprünglichen Frage lassen Sie das erste Ereignis bei$(0,0)$sein "das Schiff geht an der Uhr vorbei$A$wann Uhr$A$lautet 0", während das zweite Ereignis "Uhr" ist$B$liest 0." In meinem Rahmen (der Ruherahmen bei Uhr$A$), sind diese beiden Ereignisse gleichzeitig; weil Uhren$A$Und$B$Null gleichzeitig lesen, sage ich, sie sind synchronisiert. Allerdings, so der bewegte Beobachter, sei das Ereignis „clock$B$liest 0" tritt auf$t'=-\gamma vL/c^2\neq 0$, was bedeutet, dass die Uhr um$B$ist nicht synchron mit der Schiffsuhr in ihrem Rahmen.

Was ist falsch?

Fast immer gibt es in der speziellen Relativitätstheorie ein Problem, wenn es darum geht, die Relativität der Gleichzeitigkeit zu vergessen.

In diesem Fall wird im Schiffsrahmen, wenn das Schiff an der Uhr A vorbeifährt und seine Uhr auf 0 stellt, die Uhr B nicht auf 0 gestellt. Stattdessen (in natürlichen Einheiten) ist die Zeit im Schiffsrahmen, wenn B 0 anzeigt, wie folgt:

$$t_B=-\frac{v \ x_B}{\sqrt{1-v^2}}$$

Wenn Sie diesen Versatz mit der Zeitdilatation kombinieren, erhalten Sie den korrekten Schluss, dass beide Frames übereinstimmen. Die Zeit, die auf der Raumschiffuhr angezeigt wird, ist kleiner als die Zeit, die auf der Stabuhr bei B gemäß beiden Rahmen angezeigt wird.

Nehmen wir an, das Experiment beginnt gemäß den drei Uhren um 12 Uhr und die relativen Geschwindigkeiten sind so, dass, wenn das Raumschiff das andere Ende der Stange erreicht, die Uhr bei B auf der Stange 12:11 anzeigt, während die Uhr auf dem Raumschiff zeigt 12:10.

Laut den Uhren auf der Stange sind also 11 Minuten vergangen, während das Raumschiff benötigt hat, um sich von einem Ende der Stange zum anderen zu bewegen, während die Uhr auf dem Raumschiff anzeigt, dass nur 10 Minuten vergangen sind.

Im Rahmen des Raumschiffs war es jedoch erst 11:59 am anderen Ende der Stange, als das Raumschiff A verließ, und zu diesem Zeitpunkt zeigte die Uhr bei B auf dem Stab im Rahmen des Raumschiffs 12:01. Aus der Sicht des Raumschiffs hat die Uhr bei B auf der Stange also 11 Minuten gebraucht, um das Schiff zu treffen, während die Uhr auf der Stange bei B nur zehn Minuten vorgerückt ist.

Sie werden also sehen, dass das Auftreten der Zeitdilatation völlig reziprok ist, und es entsteht in diesem Fall aus der Tatsache, dass die Uhr bei B auf dem Stab nicht mit der lokalen Raumschiffszeit synchronisiert ist.

Allgemeiner gesagt entsteht Zeitdilatation, weil die Ebenen konstanter Zeit in einem Referenzrahmen im Vergleich zu den Ebenen konstanter Zeit in jedem anderen sich bewegenden Referenzrahmen geneigt sind. Das bedeutet, dass Sie die Uhren zwischen den beiden Frames nur an einem einzigen Punkt synchronisieren können – je weiter Sie sich von diesem Punkt entfernen, desto mehr werden die Uhren in den beiden Frames asynchron.

Sie können den Effekt der Zeitdilatation ganz einfach erzeugen. Stellen Sie sich vor, Sie gehen mit 1 m/s einen Korridor entlang, in dem in Abständen von 10 m Personen stehen, die jeweils eine Uhr halten, und die Uhren sind so eingestellt, dass jede Uhr im Korridor der Uhr davor um 1 Sekunde vorausgeht. Wenn Sie an der ersten Uhr vorbeigehen, wird sie auf 12:00 Uhr gestellt, ebenso wie Ihre Uhr. Nach zehn Sekunden hast du 10m gelaufen und die nächste Uhr erreicht. Auf Ihrer Uhr steht 12:00:10, aber die Uhr zeigt 12:00:11, weil sie eine Sekunde vorläuft. Sie gehen weitere 10m und treffen auf die nächste Uhr. Jetzt zeigt Ihre Uhr 12:00:20, während die gerade erreichte Uhr 12:00:22 anzeigt, weil sie eine Sekunde vor der vorherigen steht. Nachdem Sie weitere 10 m gelaufen sind, treffen Sie auf eine andere Uhr, die 12:00:33 anzeigt, während Ihre Uhr jetzt 12:00:30 anzeigt.

Sie werden sehen, dass Ihre Uhr langsam zu laufen scheint, wenn Sie ihre Ablesung mit den Uhren vergleichen, an denen Sie vorbeigehen, aber tatsächlich laufen Ihre Uhr und die Uhren genau gleich schnell – der Anschein von Zeitdilatation entsteht, weil die Uhren alle sind nicht synchron miteinander eingestellt .

Nehmen wir nun an, dass hinter Ihnen in 10-Meter-Intervallen Menschen mit Uhren laufen, die so eingestellt sind, dass sie jeweils 1 Sekunde vor der Uhr in der Reihe sind. Stellen Sie sich vor, wie diese wandelnden Menschen mit Uhren von den ersten der stationären Menschen mit Uhren betrachtet werden. Um 12:00:00 bestehen Sie, wobei 12:00:00 auf Ihrer Uhr angezeigt wird. Zehn Sekunden später kommt der nächste Spaziergänger in der Reihe vorbei, auf seiner Uhr steht 12:00:11. Nach weiteren zehn Sekunden passiert ein weiterer Walker mit 12:00:22 auf der Uhr. Zehn Sekunden später kommt ein anderer Spaziergänger mit 12:00:33 auf der Uhr vorbei, während es auf der Uhr nur 12:00:30 ist. Das Auftreten der Zeitdilatation ist also völlig reziprok – die stehende Person sieht, dass ihre Uhr im Vergleich zu den vorbeiziehenden Uhren nachlässt,Beide Personengruppen – diejenigen, die mit den Uhren gehen, und diejenigen, die die Uhren in der Hand halten – denken, dass ihre Zeitmesser im Vergleich zu den Zeitmessern, an denen sie vorbeigehen, an Zeit verlieren (dh die Zeit verlängert), obwohl alle Zeitmesser genau gleich schnell ticken. Der Effekt der Zeitdilatation entsteht nicht, weil die Uhren langsamer werden, wenn sie sich bewegen, sondern weil die Zeit in einem Frame nicht mit der Zeit im anderen synchronisiert ist.