Was ist falsch daran, die beiden Formeln für Lorentzkontraktion und Zeitdilatation gleichzeitig zu verwenden?

Die beiden unterschiedlichen Formeln basieren auf unterschiedlichen Annahmen.

Die Zeitdilatationsformel geht davon aus, dass es zwei Ereignisse in der Raumzeit gibt und dass sich die beiden Ereignisse in einem Referenzrahmen an derselben Position befinden. Die Längenkontraktionsformel geht davon aus, dass es in der Raumzeit zwei Weltlinien gibt und dass die beiden Weltlinien in einem Bezugssystem ruhen.

Für Licht (null geodätisch) kann keine dieser Annahmen gelten. Sie können also keine dieser Formeln für Licht verwenden, und schon gar nicht beide zusammen.

Die allgemein funktionierende Formel ist die Lorentz-Transformation. Ich empfehle Anfängern der Relativitätstheorie, die vereinfachten Formeln für Längenkontraktion und Zeitdilatation nicht zu verwenden. Verwenden Sie einfach die Lorentz-Transformation. Gegebenenfalls wird es automatisch zu den Zeitdilatations- und Längenkontraktionsformeln vereinfacht, aber Sie vermeiden Situationen wie diese, die durch die falsche Verwendung der vereinfachten Formeln entstehen, wenn die Annahmen verletzt werden.

Aufgrund dieser und Ihrer vorherigen Frage vermute ich, dass Ihre Verwirrung auf die Interpretation von zurückzuführen ist$L$in der Längenkontraktionsformel. Tatsächlich hat mich das am Anfang sehr verwirrt.

Stellen Sie sich zwei Beobachter vor, die an Rahmen befestigt sind$S$Und$S^\prime$, mit$S^\prime$mit Geschwindigkeit bewegen$v$relativ zu$S$im$x$-Richtung. Lassen Sie ihre Koordinaten im Ursprung zusammenfallen. Wenn wir die Formel für die Zeitdilatation herleiten, betrachten wir eine Zeitänderung von$\Delta t=t_2-t_1$im$S$rahmen. Die Durchführung einer Lorentz-Transformation ergibt dann dieselbe Zeitänderung in der$S^\prime$Rahmen als$\Delta t^\prime=t_2^\prime-t_1^\prime=\gamma(t_2-t_1)=\gamma\Delta t$seit$x=0$für den Beobachter in$S$. So kommen wir zum Bekannten

$$\Delta t^\prime=\gamma\Delta t,\tag*{(1)}$$ was uns sagt, dass die Zeit für den Beobachter in$S$erreichen$t_2$ist für den Betrachter geweitet zu sehen$S^\prime$.

Naiverweise könnten wir als nächstes versuchen, dasselbe für die Raumkoordinate(n) zu tun. Angenommen, wir betrachten eine Länge$\Delta x=x_2-x_1$bei$t_1=t_2=0$. Wenn wir die gleichen Bewegungen durchlaufen, finden wir das

$$\Delta x^\prime=\gamma\Delta x.\tag*{(2)}$$ Aber warte. Dies ist nicht die korrekte Form der Längenkontraktionsformel. Es sollte wirklich sein$\Delta x^\prime=\Delta x/\gamma$. Was gibt?

Der Weg, dies zu verstehen, besteht darin, das zu erkennen$L$soll eine Länge haben. Gleichung 2 ist die$x^\prime$Abstand zwischen zwei Punkten (z. B. den Enden der Stange) zu verschiedenen Zeiten . Das ist offensichtlich nicht gut. Während es für die Herleitung der Zeitdilatationsformel in Ordnung war, die Anfangs- und Endzeit zu vergleichen, obwohl jeder Beobachter die räumliche Position aus der Perspektive des anderen geändert hatte, ist dies für die Messung der Länge eines Stabs nicht in Ordnung. Sie müssen die räumlichen Positionen beider Enden gleichzeitig messen$t^\prime$Koordinate.

Dies ist etwas, das durch ein Raum-Zeit-Diagramm viel deutlicher gemacht werden kann:

(RL Hermann, 2008)

Betrachtet man das Diagramm rechts, so ist die$x^\prime$Abstand zwischen dem Paar diagonaler gestrichelter Linien ist der$\Delta x^\prime$in Gl. 2. Die Vertragslänge ist jedoch die$\Delta x^\prime$in dem Diagramm gezeigt, das ein Abstand zwischen Punkten gleichzeitig ist$t^\prime$.

Es kann hilfreich sein, einen Fall zu betrachten, in dem sowohl Längenkontraktion als auch Zeitdilatation für die Analyse der Lichtbewegung relevant sind, und wie die Formeln konsistent sind, wenn sie korrekt angewendet werden.

Stellen Sie sich eine "Lichtuhr" vor, einen Kanal, in dem ein Lichtimpuls hin und her reflektiert wird. In seinem Ruherahmen hat der Kanal Länge$0.5$und so braucht Licht Zeit$1$um eine Periode (hin und zurück) zu absolvieren, in Einheiten wo$c = 1$.

Nun, was ist die Periode der Uhr in einem Rahmen, in dem sich die Uhr schnell bewegt?$v$?

Typischerweise wird dies mit einer Bewegung senkrecht zum Kanal analysiert, aber das erfordert mindestens zwei räumliche Dimensionen. Wenn die Bewegung der Uhr parallel zum Kanal ist, können wir das Problem auf eine Dimension beschränken und haben den "Bonus", die Längenkontraktionsformel einzuführen.

Die kontrahierte Länge des Kanals ist$0.5/\gamma$, Wo$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2}$. Wenn das Licht nach rechts geht, ist die scheinbare relative Geschwindigkeit zwischen dem Licht und dem Kanal in diesem Rahmen$1 - v$, und wenn das Licht nach links geht, ist diese scheinbare Geschwindigkeit$1 + v$. (Die gewöhnliche Addition gilt, weil wir einfach Kinematik in diesem einen Bezugssystem durchführen.)

Die Gesamtzeit für die Ausbreitung von einer Seite zur anderen und zurück ist also

$$t = \frac{0.5/\gamma}{1 - v} + \frac{0.5/\gamma}{1 + v} = \frac{1/\gamma}{1 - v^2} = \gamma.$$ Diese wird von der Ruhezeit aus geweitet$1$genau wie erwartet.

Dies stellt eine gültige Verwendung von Längenkontraktion und Zeitdilatation bei der Bewertung des Verhaltens von Licht dar.