Was ist falsch an diesem Verfahren zum Auffinden von Lorentz-Transformationsgleichungen?

Question

Was ist falsch an diesem Verfahren zum Auffinden von Lorentz-Transformationsgleichungen?

Erstarrung

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist für alle Trägheitsbeobachter gleich. Das heisst

\frac{D X}{D T} = \frac{D X^{'}}{D T^{'}} = C \Rightarrow {(C D T)}^{2} - D X^{2} = 0 = {(C D T^{'})}^{2} - {D X^{'}}^{2} .

$\frac{dx}{dt}=\frac{dx'}{dt'}=c\\ \Rightarrow {(c\,dt)}^2-dx^2=0={(c\,dt')}^2-{dx'}^2.$ Ich denke, dass es ohne weitere Arbeit nicht offensichtlich ist, dass für beliebige Nicht-Null-Werte von

{(c d t)}^{2} - d x^{2}

${(c\,dt)}^2-dx^2$ , die Gleichheit

{(C D T)}^{2} - D X^{2} = {(C D T^{'})}^{2} - {D X^{'}}^{2}

${(c\,dt)}^2-dx^2={(c\,dt')}^2-{dx'}^2$ wird gelten.

Angesichts des Postulats der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, wenn wir herausfinden würden, wie $(t,x)$ transformieren müssen, können wir nur die erste Gleichheit verwenden - eine schwächere Bedingung als die zweite Gleichheit. Aber es wird normalerweise unter Verwendung der stärkeren Bedingung (zweite Gleichheit) abgeleitet, die die Gleichheit für beliebige Werte von annimmt ${(c\,dt)}^2-dx^2$ .

Wenn wir dem Postulat strikt folgen müssen, müssen wir meiner Meinung nach die Lorentz-Transformationsgleichungen in zwei Schritten wie folgt ableiten.

Schritt 1. Zuerst nehmen wir an

C T^{'} = A C T + B X, X^{'} = K C T + D X .

$c\,t'=A\,c\,t+B\,x,\quad x'=K\,c\,t+D\,x.$

Schritt 2 Verwenden Sie dann zwei Bedingungen ${(c\,dt')}^2-{dx'}^2=0$ Und ${(c\,dt)}^2-dx^2=0$ .

Wir beginnen mit

{(C D T^{'})}^{2} - {D X^{'}}^{2} = 0 \Rightarrow (A^{2} - K^{2}) C^{2} D T^{2} + (B^{2} - D^{2}) D X^{2} + 2 (A B - K D) C D T D X = 0

${(c\,dt')}^2-{dx'}^2=0\\ \Rightarrow (A^2-K^2)\,c^2dt^2 + (B^2-D^2)\,dx^2 + 2(AB-KD)\,c\,dt\,dx=0$ Jetzt ist die einzige Bedingung, die wir verwenden können

c d t = \pm d x

$c\,dt=\pm dx$ , was nicht ausreicht, um alle vier unbekannten Konstanten zu finden.

Bedeutet dies, dass man die Lorentz-Transformationsgleichungen nicht allein aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ableiten kann?

Thomas

Mit

c > 0

$c>0$ Und

d t > 0

$dt>0$ du würdest haben

c d t > 0

$cdt>0$ , so kann Ihr Zustand nur sein

c d t = d x

$cdt=dx$ . Eine Variable kann nicht gleichzeitig positiv und negativ sein.

Erstarrung

d x / d t = \pm c

$dx/dt=\pm c$ impliziert Licht, das sich entlang bewegt

\pm x

$\pm x$ Achse. Denken Sie an das Lichtkegeldiagramm. Tatsächlich impliziert das erste Postulat

d x / d t = \pm c = d x^{'} / d t^{'}

$dx/dt=\pm c=dx'/dt'$ .

Thomas

Dann müsstest du schreiben

x_{1} = c t

$x_1=ct$ Und

x_{2} = - c t

$x_2=-ct$ . Sie können nicht davon ausgehen

x = c t

$x=ct$ Und

x = - c t

$x=-ct$ gleichzeitig. Das könntest du genauso gut sagen

1 = - 1

$1=-1$

Erstarrung

Davon gehe ich nicht aus. ich werde benützen

d x = c d t

$dx=cdt$ Und

d x = - c d t

$dx=-cdt$ , als zwei getrennte Bedingungen. Das ist offensichtlich. Jedenfalls löst es das vorliegende Problem nicht.

Antworten (2)

Was ist falsch an diesem Verfahren zum Auffinden von Lorentz-Transformationsgleichungen?

Mit $c>0$ Und $dt>0$ du würdest haben $cdt>0$ , so kann Ihr Zustand nur sein $cdt=dx$ . Eine Variable kann nicht gleichzeitig positiv und negativ sein.
$dx/dt=\pm c$ impliziert Licht, das sich entlang bewegt $\pm x$ Achse. Denken Sie an das Lichtkegeldiagramm. Tatsächlich impliziert das erste Postulat $dx/dt=\pm c=dx'/dt'$ .
Dann müsstest du schreiben $x_1=ct$ Und $x_2=-ct$ . Sie können nicht davon ausgehen $x=ct$ Und $x=-ct$ gleichzeitig. Das könntest du genauso gut sagen $1=-1$
Davon gehe ich nicht aus. ich werde benützen $dx=cdt$ Und $dx=-cdt$ , als zwei getrennte Bedingungen. Das ist offensichtlich. Jedenfalls löst es das vorliegende Problem nicht.

J. Murray · Answer 1

Ja, die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit reicht nicht aus. Sie benötigen zusätzliche Annahmen. Diese Notizen von Victor Yakovenko liefern eine Ableitung der allgemeinen Koordinatentransformation

(\begin{matrix} X^{'} \\ T^{'} \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2} / A}} (\begin{matrix} 1 & - v \\ v / A & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ T \end{matrix})

$\pmatrix{x'\\t'}=\frac{1}{\sqrt{1+v^2/a}} \pmatrix{1 & -v\\v/a & 1}\pmatrix{x\\t}$

Wo $a$ ist ein Parameter mit den Dimensionen der Geschwindigkeit im Quadrat. Diese Ableitung macht folgende Annahmen:

Die Koordinatentransformation soll linear sein (davon sind Sie bereits in Schritt 1 ausgegangen)
Der Raum ist isotrop, also ist zB die Länge eines sich bewegenden Lineals die gleiche, wenn es sich nach links bewegt, wie wenn es sich nach rechts bewegt
Die Zusammensetzung zweier Transformationen ist eine weitere Transformation
Transformationen hängen nur von der relativen Geschwindigkeit zwischen Frames ab

Daraus ergeben sich 3 realisierbare Möglichkeiten. Entweder $a>0$ , $a<0$ , oder $a\rightarrow \infty$ (Letzterer Fall führt zu den Galileischen Transformationen). Wenn wir jedoch zusätzlich fordern, dass es eine invariante Geschwindigkeit gibt $c$ so dass sich Objekte mit Geschwindigkeit bewegen $c$ in einem Frame in jedem anderen Frame mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, dann ist die einzige Möglichkeit, dass $a = -c^2 < 0$ .

Es gibt viele Wege zu den Lorentz-Transformationen, die unterschiedliche Annahmen treffen, aber der Punkt meiner Antwort ist, dass die Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit allein nicht ausreicht. Es muss andere (vernünftige) physikalisch motivierte Annahmen über die Struktur und Symmetrien der Raumzeit geben, die damit einhergehen.

Es macht Spaß, das zu sehen, seit Yakovenko mein C unterrichtet hat. Mech-Kurs in der Graduiertenschule und so sah ich, wie er genau diese Herleitung gab.
Sie sagten, wenn wir zusätzlich fordern, dass es eine unveränderliche Geschwindigkeit c gibt, so dass sich Objekte, die sich in einem Frame mit der Geschwindigkeit c bewegen, in jedem anderen Frame mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen . Objekte bewegen sich in verschiedenen Referenzrahmen nicht mit der gleichen Geschwindigkeit, sondern nur Licht. Und das Problem mit der von Ihnen verlinkten Ableitung ist, dass es nicht wirklich eine Möglichkeit gibt, die Lichtgeschwindigkeit auf natürliche Weise einzubringen. Es scheint sehr viel wie eine Reverse Engineering-Ableitung zu sein, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.
@Thomas Es ist nicht klar, was Sie mit "es gibt nicht wirklich eine Möglichkeit, die Lichtgeschwindigkeit auf natürliche Weise einzubringen" meinen. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist eine unabhängige Annahme. Die Herleitung ausgehend von den Punkten 1. 2. 3. 4 soll zeigen, dass es möglich ist, die Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit auf den allerletzten Schritt zu verschieben. Das zeugt von der Unabhängigkeit. Anscheinend qualifizieren Sie die Wahl zwischen 3 Möglichkeiten als "Einbringen der Lichtgeschwindigkeit auf unnatürliche Weise", aber es ist nicht klar, wie dies etwas "Unnatürliches" darstellen soll.
@zeldredge Er hat mir auch beigebracht 🙂 Ich glaube, du und ich haben uns tatsächlich ein- oder zweimal getroffen.
@Cleonis Die Auswahl der für Sie geeigneten Möglichkeit aus den 3 Optionen kann nicht als Ableitung bezeichnet werden. In www2.physics.umd.edu/%7Eyakovenk/teaching/Lorentz.pdf wird kein zwingender Grund angegeben, warum die Galilei-Transformation nicht die Lösung sein sollte.
@Thomas Mir ist bewusst, dass sich massive Objekte in verschiedenen Frames mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Was ich gesagt habe, war, dass wenn Sie wollen, dass es eine unveränderliche Geschwindigkeit gibt, dann wird das behoben $a$ minus dem Quadrat dieser Geschwindigkeit sein. Empirisch haben wir beobachtet, dass das Universum, in dem wir leben, eine solche Geschwindigkeit hat – die Lichtgeschwindigkeit –, die das letzte Stück ist, das für die Ableitung der Lorentz-Transformationsformel erforderlich ist.
@Thomas RE dieser letzte Kommentar - ja natürlich. Die Tatsache, dass eine solche Geschwindigkeit existiert, ist eine physikalische, empirisch beobachtete Eingabe in die Ableitung. Das ist Physik, nicht Mathematik, und Physik ist nicht axiomatisch – empirischer Input ist eine absolute Notwendigkeit in jeder Ableitung, die wir haben.
@Thomas erm ... der ganze Sinn der Ableitung besteht darin zu zeigen, dass die Einschränkungen 1. 2. 3. 4. die galiläische Transformation nicht ausschließen. Es gibt nur einen Weg festzustellen, welche Transformation anwendbar ist: durch physikalisches Experiment. Die Daten aus Experimenten weisen uns in die eine oder andere Richtung. Hypothese: Sie haben den Eindruck, dass es möglich sein sollte, die Galilei-Transformation durch bloße logische Argumentation auszuschließen. Das Zerstreuen einer solchen Vorstellung ist der eigentliche Grund, warum die Ableitung ausgehend von den Beschränkungen 1. 2. 3. 4. wertvoll ist.
Der Punkt ist, dass es keine physikalische Eingabe für die Gleichungen in dieser Ableitung gibt. Es ist eine mathematische Koordinatentransformation, aber es ist nicht spezifiziert, worauf sich diese Koordinaten physikalisch beziehen. Beziehen sie sich auf den Weg eines Objekts? Oder beziehen sie sich auf den Weg eines Lichtsignals? Und warum nehmen Sie an, dass die Lösung in beiden Fällen dieselbe ist?
@Thomas Meine Antwort setzt voraus, dass Sie wissen, was ein Trägheitsreferenzrahmen ist und was die entsprechenden Koordinaten angeben, da dies der Kontext ist, in dem die Frage gestellt wurde. Ihre Fragen sind nicht unwichtig, aber die Antworten darauf sind Voraussetzung für diese.
@Cleonis Lassen Sie es mich so sagen: Wenn wir überhaupt nichts über die Lichtgeschwindigkeit wüssten, aus welchen Gründen würden Sie schließen, dass wir die Ausbreitung von Lichtsignalen untersuchen müssen, um eine Antwort auf die Frage zu erhalten, wie die Koordinaten eines Objekts zwischen zwei sich relativ zueinander bewegenden Referenzrahmen transformieren?
@Thomas In der Tat: Die Eigenschaften der Lichtausbreitung ergeben sich als Folge ; sie sind nicht Ursache. Das Schlüsselkonzept ist die Metrik der Raumzeit. Der Übergang von der Newtonschen Dynamik zur relativistischen Dynamik war ein Übergang der Art und Weise, wie Raum und Zeit konzeptualisiert werden: Newton: Euklidische Metrik; relativistisch: Minkowski-Metrik. Die Minkowski-Metrik ist das Prinzip, weil sie die Natur der Raumzeit beschreibt. Die Minkowski-Metrik drückt die folgende physikalische Eigenschaft aus: Es gibt eine Obergrenze für die Geschwindigkeit jeder Ausbreitung . Sowohl Materie als auch Ausbreitung von Wellen unterliegen dieser Obergrenze
@Thomas stackexchange ist speziell darauf ausgelegt, kein Thread-Forum zu sein. Der Kommentarbereich dient nicht der Konversation. Die empfohlene Vorgehensweise ist: Wenn Sie feststellen, dass Sie eine Frage in einen Kommentarbereich schreiben, dann schreiben Sie diese Frage neu, um sie als eigenständige Frage einzureichen. (Für den Kontext können Sie natürlich auf die Antwort verweisen, die es ausgelöst hat.)

Thomas · Answer 2

Ich habe gesehen, dass die Lorentz-Transformation auf eine sehr ähnliche Weise abgeleitet wurde, wie Sie sie angegangen sind:

Lassen Sie mich zuerst Ihre endgültige Gleichung ohne die Differentiale umschreiben (es macht wenig Sinn, diese zu verwenden, wenn die Lichtgeschwindigkeit als konstant angenommen wird).

(1) (A^{2} - K^{2}) C^{2} T^{2} + (B^{2} - D^{2}) X^{2} + 2 (A B - K D) C T X = 0

$(1)\:\:\:(A^2-K^2)c^2t^2 +(B^2-D^2)x^2 +2(AB-KD)ctx =0$

Subtrahiert man weiterhin die Gleichung $c^2t^2-x^2=0$ daraus bekommst du

(2) (A^{2} - K^{2} - 1) C^{2} T^{2} + (B^{2} - D^{2} + 1) X^{2} + 2 (A B - K D) C T X = 0

$(2)\:\:\:(A^2-K^2-1)c^2t^2 +(B^2-D^2+1)x^2 +2(AB-KD)ctx =0$

Wenn das für alle x bei gegebenem t gelten soll, müssen also alle Koeffizienten zu den verschiedenen Potenzen von x separat Null sein

(3) A^{2} - K^{2} - 1 = 0

$(3)\:\:\:A^2-K^2-1=0$

(4) B^{2} - D^{2} + 1 = 0

$(4)\:\:\:B^2-D^2+1=0$

(5) A B - K D = 0

$(5)\:\:\:AB-KD=0$

Jetzt müssen Sie natürlich zusätzlich die Einschränkung verwenden, dass sich die grundierten und ungrundierten Frames relativ zueinander bewegen (schließlich machen wir das überhaupt erst aus diesem Grund). Die zusätzlichen Bedingungen, die wir haben, sind also

(6) X^{'} = 0 => X = v T

$(6)\:\:\:x'=0 => x=vt$

(7) X = 0 => X^{'} = - v T

$(7)\:\:\:x=0 => x'=-vt$

Fügen Sie dies in Ihre Transformation ein

(8) X^{'} = D X + K C T

$(8)\:\:\:x'=Dx+Kct$

(9) C T^{'} = A C T + B X

$(9)\:\:\:ct'=Act+Bx$

ergibt dann

(10) K = - \frac{v}{C} D

$(10)\:\:\:K=-\frac{v}{c}D$

(11) A = D

$(11)\:\:\:A=D$

(12) B = K

$(12)\:\:\:B=K$

Einsetzen in (3) und (5) liefert

(13) D^{2} (1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}) - 1 = 0 => D = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$(13)\:\:\:D^2(1-\frac{v^2}{c^2})-1=0 => D=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(14) B = - \frac{v}{C} \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$(14)\:\:\:B=-\frac{v}{c}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ .

Allerdings gibt es meiner Meinung nach ein Problem bei dieser Herleitung:

Die quadratischen Gleichungen, die zu Gl. (1) führen

(15) X^{2} = C^{2} T^{2}; X^{' 2} = C^{2} T^{' 2}

$(15)\:\:\: x^2=c^2t^2 ;\:\:\: x'^2=c^2t'^2$ die Lösungen haben

(16) X_{1} = C T; X_{1}^{'} = C T^{'}

$(16)\:\:\: x_1=ct ;\:\:\: x_1'=ct'$

(17) X_{2} = - C T; X_{2}^{'} = - C T^{'}

$(17)\:\:\: x_2=-ct ;\:\:\: x_2'=-ct'$

So

(18) X_{2} = - X_{1}

$(18)\:\:\: x_2= -x_1$

(19) X_{2}^{'} = - X_{1}^{'}

$(19)\:\:\: x_2'= -x_1'$

Wir können die Transformation (8) für die beiden Lösungen umschreiben als

(20) X_{1}^{'} = D X_{1} + K C T

$(20)\:\:\:x_1'=Dx_1+Kct$

(21) X_{2}^{'} = D X_{2} + K C T

$(21)\:\:\:x_2'=Dx_2+Kct$

Durch Einsetzen von (18), (19) in (21) erhalten wir jedoch

(22) - X_{1}^{'} = - D X_{1} + K C T

$(22)\:\:\:-x_1'=-Dx_1+Kct$ dh

(23) X_{1}^{'} = D X_{1} - K C T

$(23)\:\:\:x_1'=Dx_1-Kct$

was mit (20) unvereinbar ist, es sei denn $K=0$ dh es sei denn $v=0$ , was keinen Sinn macht.

Die ursprünglichen Gleichungen, die zu (1) führten, beinhalten $ct' = Act + Bx$ Und $x' = Kct + Dx$ , die nicht unveränderlich sind unter $(x,x')\rightarrow(-x,-x')$ .
@J.Murray Sie versuchen, eine lineare Transformation zu finden, die konsistent ist mit $x^2=c^2t^2$ , $x'^2=c^2t'^2$ Die letzteren Gleichungen sind invariant unter $(x,x′)→(−x,−x′)$
Richtig ... aber warum würden Sie erwarten, dass Ihre lineare Transformation so ist? $x^2=4$ ist unveränderlich unter $x\rightarrow -x$ , Aber $x=2$ offensichtlich nicht, noch ist $x=-2$ .
@J.Murray Sie haben den entscheidenden Teil verpasst: von $x'^2=4$ du hast dann auch die beiden lösungen $x_1'=2$ Und $x_2'=-2$ , das heißt, die gestrichene Variable ändert das Vorzeichen, wenn die nicht gestrichene Variable das Vorzeichen ändert
Ich denke, vielleicht übersehen Sie den entscheidenden Teil. $x' = \gamma(x-vt)$ Und $-x' = \gamma (-x -vt) \iff x' = \gamma(x+vt)$ sind beides vollkommen gültige Boosts. Sie sind nicht der gleiche Boost, genauso wie $x=2$ Und $x=-2$ sind nicht die gleichen Lösungen $x^2=4$ .
@J.Murray Bitte sehen Sie sich meine bearbeitete Antwort an, die meinen Standpunkt verdeutlichen sollte.
Es macht keinen Sinn, beides zu verlangen $x’=0$ Und $x=0$ . Es gibt nur eine Veranstaltung für die $x$ Und $x’$ sind beide Null, und es ist bei $t=t’=0$ .
@J.Murray Es ist nicht sinnvoll zu verlangen, dass sowohl x'=0 als auch x=0 sind. Ich bin mir nicht sicher, warum Sie sagen, dass eine solche Anforderung (oder eine Anforderung in dieser Angelegenheit) gestellt wurde. Die oben geschriebenen Gleichungen werten lediglich die Transformationsgleichung separat für ein Lichtsignal auf der positiven und negativen x-Achse aus, unter der Annahme, dass sich ein Lichtsignal, das bei t = t' = 0 gesendet wird, symmetrisch zum Ursprung in jedem Referenzrahmen ausbreitet (wie von gefordert das Invarianzprinzip für die Lichtgeschwindigkeit). Bitte beziehen Sie sich direkt auf die obigen algebraischen Gleichungen, falls Sie irgendwo Probleme sehen.
Ihre Bearbeitung macht das Missverständnis deutlicher und bezieht sich auf eine Frage, die Sie in einem Kommentar zu meiner Antwort gestellt haben. Die Lorentz-Transformationen beziehen die Koordinaten von Ereignissen in einem Rahmen auf die Koordinaten desselben Ereignisses in einem anderen. Wenn Sie die Flugbahn eines Partikels (oder eines Lichtstrahls) in einem neuen Frame ausdrücken möchten, müssen Sie sowohl die Positions- als auch die Zeitkoordinaten transformieren. Mit anderen Worten, Ihre Bedingungen (18/19) sollten sein $x_2(t) = -x_1(t)$ Und $x_2'(t')=-x_1'(t')$ . Ausdrücken $x_1'$ Und $x_2'$ bezüglich $t'$ lösen Sie Ihre Probleme. Wenn Sie verwirrt bleiben, sollten Sie fragen, [...]
[...] dazu eine neue Frage, denn Kommentar-Threads sind nicht für längere Diskussionen gedacht.
@J.Murray Ich versuche nicht, irgendetwas zu diskutieren oder Fragen zu stellen. Ich teile Ihnen nur mit, dass Ihr Kommentar nicht auf meine Antwort eingeht. Wenn Sie die Gleichungen (16), (17) überprüft hätten, hätten Sie die Zeitabhängigkeit von gesehen $x_1'$ Und $x_2$ ' und auch das folglich (18), (19) gelten unabhängig von $t$ Und $t'$ '. Bitte halten Sie sich auch hier an die obigen Gleichungen und beschwören Sie keine unzusammenhängenden Argumente herauf.
Und ich teile Ihnen mit, dass Sie damit falsch liegen. Ich habe mir erlaubt, das Warum und Wie in diesem Chat explizit zu erklären , auf den Sie gerne antworten können, wenn Sie weiterhin der Meinung sind, dass ich falsch liege.

Was ist falsch an diesem Verfahren zum Auffinden von Lorentz-Transformationsgleichungen?

Erstarrung

Thomas

Erstarrung

Thomas

Erstarrung

Antworten (2)

J. Murray

Thomas

J. Murray

zeldredge

Thomas

Kleonis

J. Murray

Thomas

J. Murray

J. Murray

Kleonis

Thomas

J. Murray

Thomas

Kleonis

Kleonis

Thomas

J. Murray

Thomas

J. Murray

Thomas

J. Murray

Thomas

J. Murray

Thomas

J. Murray

J. Murray

Thomas

J. Murray