Lorentz-Boost-Matrix für eine beliebige Richtung in Bezug auf die Schnelligkeit

Haben Sie Wikipedia - Lorentz-Transformation - Proper Transformations versucht ?

Ich denke, das ist fast das, was Sie brauchen:

$$\begin{bmatrix} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma &-\gamma \beta_x &-\gamma \beta_y &-\gamma \beta_z \\ -\gamma \beta_x&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_x^2}{\beta^2}& (\gamma-1)\dfrac{\beta_x \beta_y}{\beta^2}& (\gamma-1)\dfrac{\beta_x \beta_z}{\beta^2} \\ -\gamma \beta_y& (\gamma-1)\dfrac{\beta_y \beta_x}{\beta^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_y^2} {\beta^2}& (\gamma-1)\dfrac{\beta_y \beta_z}{\beta^2} \\ -\gamma \beta_z& (\gamma-1)\dfrac{\beta_z \beta_x}{\beta^2}&(\gamma-1)\dfrac{\beta_z \beta_y}{\beta^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{\beta_z^2} {\beta^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}$$

Diese Antwort beschreibt, wie Ereigniskoordinaten transformiert werden$S$Zu$S'$Koordinaten wann$S'$bewegt sich mit allgemeiner Geschwindigkeit$\vec{v}$In$S$rahmen.

Mit dem YouTube-Video The General Lorentz Transformation kann dies auf folgende Weise erfolgen:

Lassen$\vec{r}=\vec{r}(ct, x, y, z)$In$S$, und dasselbe Ereignis in$S'$Sei$\vec{r}'=\vec{r}'(ct', x', y', z')$.$S'$entfernt sich von$S$mit Geschwindigkeit$\vec{v}$.

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Räumliche Koordinaten

Ignorieren der$ct$Abhängigkeit von$r$Und$r'$vorerst schreiben$\vec{r}$als Summe zweier Vektoren, von denen einer parallel ist$\vec{v}$, eine senkrecht dazu.

$\vec{r}=\vec{r}_{\parallel}+\vec{r}_{\perp}$.

Da nur die Parallelkomponente dazu$\vec{v}$nicht Lorentz-invariant ist, können wir schreiben:

$$\vec{r}'=\vec{r}_{\perp}+\gamma(\vec{r}_{\parallel}-\vec{v}t)$$

Umschreiben, verwenden$\vec{r}_{\perp}=\vec{r}-\vec{r}_{\parallel}$:

$$\vec{r}'=\vec{r}-\vec{r}_{\parallel}+\gamma(\vec{r}_{\parallel}-\vec{v}t)$$

$$\vec{r}'=\vec{r}+(\gamma-1)\vec{r}_{\parallel}-\gamma\vec{v}t$$

Schreiben$\vec{r}_{\parallel}$als:

$$\vec{r}_{\parallel} = \vec{r}\cdot{\hat{\vec{v}}}\hat{\vec{v}}=\frac{\vec{r}\cdot{\vec{v}}\vec{v}}{|\vec{v}|^2}$$

wir haben:

$$\vec{r}'=-\gamma\vec{v}t+\vec{r}+(\gamma-1)\frac{\vec{r}\cdot{\vec{v}}\vec{v}}{|\vec{v}|^2}$$

Erweitern Sie die Bedingungen von$\vec{r}'$:

$$x'=-\gamma v_x t + x + (\gamma -1)\frac{(xv_x)}{|\vec{v}|^2}v_x + (\gamma -1)\frac{(yv_y)}{|\vec{v}|^2}v_x + (\gamma -1)\frac{(zv_z)}{|\vec{v}|^2}v_x$$

$$y'=-\gamma v_y t + y + (\gamma -1)\frac{(xv_x)}{|\vec{v}|^2}v_y + (\gamma -1)\frac{(yv_y)}{|\vec{v}|^2}v_y + (\gamma -1)\frac{(zv_z)}{|\vec{v}|^2}v_y$$

$$z'=-\gamma v_z t + z + (\gamma -1)\frac{(xv_x)}{|\vec{v}|^2}v_z + (\gamma -1)\frac{(yv_y)}{|\vec{v}|^2}v_z + (\gamma -1)\frac{(zv_z)}{|\vec{v}|^2}v_z$$

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Zeitabhängigkeit

In der Standardkonfiguration ist die$ct$Abhängigkeit transformiert sich zu:

$$ct'=\gamma\left(ct-\frac{vx}{c}\right)$$

Wo$vx$ist: die Komponente ($x$) von welchem ​​Ereignis auch immer, wir transformieren Lorentz in Richtung der Bewegung des grundierten Rahmens ($S'$), mal die Geschwindigkeit ($v$) der Bewegung von$S'$. Jetzt$S'$bewegt sich nicht entlang des Positiven$x$Richtung nicht mehr, also ersetzen$vx$mit$\vec{v}\cdot\vec{r}$: Dies ist die Komponente von$\vec{r}$in der Richtung von$S'$-Bewegungseinheit-Vektor$\hat{\vec{v}}$mal die Geschwindigkeit$v$. Also haben wir:

$$ct'=\gamma\left(ct-\frac{\vec{v}\cdot\vec{r}}{c}\right)=\gamma ct - \gamma \frac{xv_x}{c} -\gamma \frac{yv_y}{c} - \gamma \frac{zv_z}{c}$$

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Matrixform

Bringen Sie die obigen Gleichungen in Matrixform unter Verwendung der Notation:$\vec{\beta}=\frac{\vec{v}}{c}$Und$\beta=|\vec{\beta}|$:

$$\begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta_x & -\gamma\beta_y & -\gamma\beta_z\\ -\gamma\beta_x & 1+(\gamma-1)\frac{\beta_x^2}{\beta^2} & (\gamma-1)\frac{\beta_y \beta_x}{\beta^2} & (\gamma-1)\frac{\beta_z \beta_x}{\beta^2} \\ -\gamma\beta_y & (\gamma-1)\frac{\beta_x \beta_y}{\beta^2} & 1+(\gamma-1)\frac{\beta_y^2}{\beta^2} & (\gamma-1)\frac{\beta_z \beta_y}{\beta^2} \\ -\gamma\beta_z & (\gamma-1)\frac{\beta_x \beta_z}{\beta^2} & (\gamma-1)\frac{\beta_y \beta_z}{\beta^2} & 1+(\gamma-1)\frac{\beta_z^2}{\beta^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Das ist auch die Matrix, die in Thomas ' Antwort angegeben ist , also sind wir fertig.