Reflektierende Photonenrakete

Question

Reflektierende Photonenrakete

Tobi Peterken

Ein Raumschiff, ebenfalls mit Ruhemasse $M_0$ und anfänglich in Ruhe, wird durch Reflektieren eines planparallelen Photonenstrahls angetrieben, der mit einer Rate erzeugt wird $αM_0$ von einer stationären Quelle, die auf der Startrampe montiert ist, von einem perfekt reflektierenden Spiegel, der auf der Rückseite des Raumfahrzeugs montiert ist. Leiten Sie einen Ausdruck für die Beschleunigung dieses zweiten Raumfahrzeugs ab, wie sie von Astronauten auf dem Raumfahrzeug als Funktion seiner Geschwindigkeit relativ zur Startrampe beobachtet wird.

Darauf habe ich mehrere, unterschiedliche Antworten gefunden. Für alle verwende ich, dass die Beschleunigung proportional zur Rate des eingehenden Impulses ist, dh $a\propto (\text{momentum per photon})\times (\text{rate at which they hit})$ .

1) Poynting-Vektor und Impulsfluss sind um einen Faktor von proportional $c$ und daher skaliert der Impulsfluss mit dem Energiefluss. Der Energiefluss ist proportional zum Quadrat der Frequenz. Dies impliziert

A \propto \frac{1 - β}{1 + β}

$a\propto \frac{1-\beta}{1+\beta}$

2) Nehmen Sie an, dass alle Photonen emittiert werden $\delta t_0$ im Rahmen der Startrampe. Diesmal wird es im Raketenrahmen $\delta t= \gamma \delta t_0$ . In dieser Zeit bewegt sich die Startrampe weg, sodass das Photon weiter reisen muss, daher ist die Zeit zwischen dem Auftreffen der Photonen auf die Rakete $v\delta t$ . Der Impuls jedes Photons wird dopplerverschoben. somit

A \propto \sqrt{\frac{1 - β}{1 + β}} \frac{1}{β γ}

$a \propto \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\frac{1}{\beta \gamma}$

Welcher von diesen, wenn einer von beiden, hat die richtige $\beta$ Abhängigkeit?

S. McGrew

Das sieht aus wie eine Hausaufgabenfrage. Wenn ja, sollte es als solches gekennzeichnet werden.

S. McGrew

Sowohl die Photonenfrequenz als auch die Anzahl der pro Sekunde eintreffenden Photonen werden dopplerverschoben.

Tobi Peterken

Das impliziert, dass 1 Recht hat. Warum ist in diesem Fall Nummer 2 falsch?

S. McGrew

Siehe Antwort von @AndrewSteane.

Antworten (2)

Reflektierende Photonenrakete

Das sieht aus wie eine Hausaufgabenfrage. Wenn ja, sollte es als solches gekennzeichnet werden.
Sowohl die Photonenfrequenz als auch die Anzahl der pro Sekunde eintreffenden Photonen werden dopplerverschoben.
Das impliziert, dass 1 Recht hat. Warum ist in diesem Fall Nummer 2 falsch?

Andreas Steane · Answer 1

Antwort 1 ist richtig; Antwort 2 hat die falsche Ankunftsrate von Photonen. Angenommen, die Quelle emittiert einige Photonen in einem Impuls, der ist $N$ Wellenlängen lang. Die Zeit, die benötigt wird, um sie zu emittieren, muss der Zeit entsprechen, die das Licht benötigt, um die Entfernung zurückzulegen $N \lambda$ , welches ist $N \lambda/c$ . Ebenso ist die Zeit für den Empfang derselben Photonen $N \lambda'/c$ für jeden Beobachter, der die Wellenlänge findet $\lambda'$ . Die Wellenlänge transformiert sich wie die Umkehrfrequenz, also erhalten wir

A \propto \sqrt{\frac{1 - β}{1 + β}} \sqrt{\frac{1 - β}{1 + β}} = \frac{1 - β}{1 + β}

$a \propto \sqrt{ \frac{1-\beta}{1+\beta} } \, \sqrt{ \frac{1-\beta}{1+\beta} } = \frac{1-\beta}{1+\beta}$

Wenn Sie nicht über die Wellenlänge gehen möchten, betrachten Sie einfach den Impuls selbst, wenn er die sich bewegende Rakete einholt, alles im Rahmen der Startrampe beobachtet. Daraus erhalten Sie die Zeit, die die Uhr des Beobachters der Startrampe registriert, damit die Photonen die Rakete treffen. Die Schließgeschwindigkeit von Impuls und Rakete ist $c-v$ also dauert es $L/(c-v)$ für einen Puls der Länge $L$ von der Rakete absorbiert werden (und der Emitter nahm $\delta t_0 = L/c$ auszugeben). Der Raketenbeobachter findet eine kürzere Zeit als diese $\gamma$ ,

δ T = \frac{L}{C - v} \frac{1}{γ} = \frac{L}{C} \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{1 - β} = δ T_{0} \sqrt{\frac{1 + β}{1 - β}}

$\delta t = \frac{L}{c-v} \frac{1}{\gamma} = \frac{L}{c} \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta} = \delta t_0 \sqrt{ \frac{1+\beta}{1-\beta}}$

Nach Berücksichtigung des umgewandelten Energie-Impulses der Strahlung im Puls erhalten Sie also wieder die gleiche Antwort.

(Eine falsche Antwort auf diese Frage wurde lange Zeit in den früheren Prüfungsunterlagen der Oxford University mit den „Vorgeschlagenen Lösungen“ für den internen Gebrauch geteilt; ich weiß nicht, ob sie noch vorhanden ist. Vielleicht hätte sie jemand entfernen sollen; oder vielleicht diente sie als eine Aufforderung an die Schüler, intensiver über ihre eigene Arbeit nachzudenken ...)

Es ist immer noch da, ich dachte, es könnte falsch sein, als sie sagten, diese Rakete ist immer schneller. Ich denke, meine Verwirrung besteht darin, dass Sie sich nicht vorstellen können, dass einzelne Photonen emittiert werden. Obwohl ich nicht verstehe, warum das so ist.
An Photonen zu denken kann unangenehm sein, wenn Zeiten oder Raten berücksichtigt werden müssen. Die Photonen-Wellenfunktion kann (und ist es normalerweise auch) weit entlang ihrer Ausbreitungsrichtung ausgebreitet sein, aber wir neigen dazu, uns einen Absorptions- oder Emissionsprozess als plötzlich vorzustellen. Wenn Sie hier Zweifel haben, kehren Sie zur klassischen (dh Nicht-Quanten-) Physik zurück und denken Sie an einen Impuls klassischer Wellen von einiger Dauer.

meine2cts · Answer 2

Im Ruhesystem der Photonenquelle beträgt die Kraft 2E/c.

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S. McGrew

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