Ableitung des relativistischen Strahl-/Aberrationseffekts

Ich erforsche Anwendungen des relativistischen Strahlens und möchte eine Formel für den Aberrationseffekt ableiten, aber ich stecke fest (ich bin um einen Faktor von 1 / c daneben). Hier ist, was ich habe:

Betrachten Sie einen Stern in seinem Ruhesystem,$S^\prime$, bewegt sich mit Geschwindigkeit$v$der ein Photon in einem Winkel aussendet$\theta^\prime$. Im$S$Rahmen, der Beobachter misst den zu seinden Winkel$\theta$. Ich habe unten ein Bild gemacht, um dies zu veranschaulichen

Wir haben aus dem Bild die Identitäten$\cos(\theta)=\frac{x}{ct}$Und$\cos(\theta^\prime)=\frac{x^\prime}{ct^\prime}$. Die Lorentz-Transformationen sind vom Hauptkoordinatensystem die folgenden:

$$x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt(1-\beta^2)}=t\frac{\cos(\theta) -\beta}{\sqrt(1-\beta^2)}$$

$$y^\prime =y$$

$$t^\prime=\frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt(1-\beta^2)}=t\frac{1-\beta\cos(\theta)}{\sqrt(1-\beta^2)}$$

Jetzt,

$$\cos(\theta^\prime)=\frac{x^\prime}{ct^\prime}=\frac{t\frac{\cos(\theta) -\beta}{\sqrt(1-\beta^2)}}{ct\frac{1-\beta\cos(\theta)}{\sqrt(1-\beta^2)}}$$

Nach dem Vereinfachen erhalten wir

$$\cos(\theta^\prime)=1/c \frac{\cos(\theta)-\beta}{1-\beta\cos(\theta)}$$

Das ist fast die relativistische Aberrationsformel, aber wieder bin ich daneben$c^{-1}$. Weiß jemand, was an dieser Ableitung falsch ist?