Lorentz-Invarianz der Wellengleichung

Question

Lorentz-Invarianz der Wellengleichung

Jorge Lavin

Ich möchte zeigen, dass die 2-D-Wellengleichung unter einem Boost invariant ist, also ist der Ausgangspunkt die Wellengleichung

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}$

und die Lorentz-Transformation:

T^{'} = γ (T - \frac{v}{C^{2}} X) X^{'} = γ (X - v T)

$t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x) \\ x'=\gamma(x-vt)$

Meine Frage ist, soll ich schreiben $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}$ als Derivat bzgl $x'$ Und $t'$ und dann ersetzen?

Arbeit bisher erledigt

\frac{\partial}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial X^{'}} \frac{\partial X^{'}}{\partial T} + \frac{\partial}{\partial T^{'}} \frac{\partial T^{'}}{\partial T} = - γ v \frac{\partial}{\partial X^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial T^{'}}

$\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t}=-\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma\frac{\partial}{\partial t'}$

\frac{\partial^{2}}{\partial T^{2}} = \frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial}{\partial T}) = \frac{\partial}{\partial T} (- γ v \frac{\partial}{\partial X^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial T^{'}}) = = - γ v \frac{\partial}{\partial X^{'}} (- γ v \frac{\partial}{\partial X^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial T^{'}}) + γ \frac{\partial}{\partial T^{'}} (- γ v \frac{\partial}{\partial X^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial T^{'}}) = = γ^{2} v^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{' 2}} - 2 γ^{2} v \frac{\partial^{2}}{\partial X^{'} \partial T^{'}} + γ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial T^{' 2}}

$\frac{\partial^2}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial t} \right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( -\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma \frac{\partial}{\partial t'}\right)= \\ =-\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}\left( -\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma \frac{\partial}{\partial t'}\right)+\gamma\frac{\partial}{\partial t'}\left( -\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma \frac{\partial}{\partial t'}\right)=\\ = \gamma^2v^2\frac{\partial^2}{\partial x'^2}-2\gamma^2v\frac{\partial ^2}{\partial x'\partial t'}+\gamma^2\frac{\partial^2 }{\partial t'^2}$

-Bearbeiten-

Gleiches gilt für $x$

\frac{\partial}{\partial X} = \frac{\partial}{\partial X^{'}} \frac{\partial X^{'}}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial T^{'}} \frac{\partial T^{'}}{\partial X} = γ \frac{\partial}{\partial X^{'}} - \frac{γ v}{C^{2}} \frac{\partial}{\partial T^{'}}

$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial x}=\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'}$

\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} = \frac{\partial}{\partial X} (\frac{\partial}{\partial X}) = \frac{\partial}{\partial X} (γ \frac{\partial}{\partial X^{'}} - \frac{γ v}{C^{2}} \frac{\partial}{\partial T^{'}}) = = γ \frac{\partial}{\partial X^{'}} (γ \frac{\partial}{\partial X^{'}} - \frac{γ v}{C^{2}} \frac{\partial}{\partial T^{'}}) - \frac{γ v}{C^{2}} \frac{\partial}{\partial T^{'}} (γ \frac{\partial}{\partial X^{'}} - \frac{γ v}{C^{2}} \frac{\partial}{\partial T^{'}}) = = γ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{' 2}} - 2 \frac{γ^{2} v}{C^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{'} \partial T^{'}} + \frac{γ^{2} v^{2}}{C^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial T^{' 2}}

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial }{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'} \right)= \\ = \gamma\frac{\partial}{\partial x'}\left(\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'} \right)-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'}\left(\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'} \right)=\\= \gamma^2\frac{\partial^2 }{\partial x'^2}-2\frac{\gamma^2v}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial x'\partial t' }+\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial^2}{\partial t'^2}$

Bearbeiten Sie 2 mit den Hinweisen von nervxxx

Die Wellengleichung wird

\frac{γ^{2} v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - \frac{2 γ^{2} v}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{'} \partial T^{'}} + \frac{γ^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} = γ^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - 2 \frac{γ^{2} v}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{'} \partial T^{'}} + \frac{γ^{2} v^{2}}{C^{4}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}}

$\frac{\gamma^2v^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}-\frac{2\gamma^2v}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'\partial t'}+\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}=\gamma^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}-2\frac{\gamma^2v}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'\partial t' }+\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}$

\frac{γ^{2} v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} + \frac{γ^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} = γ^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} + \frac{γ^{2} v^{2}}{C^{4}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}}

$\frac{\gamma^2 v^2}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}+\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}=\gamma^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}+\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}$

Aber ich verstehe immer noch nicht ... seit allem $\gamma^2$ stornieren

Endgültige Bearbeitung. Erledigt!

\frac{γ^{2} v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - γ^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} = \frac{γ^{2} v^{2}}{C^{4}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} - \frac{γ^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}}

$\frac{\gamma^2 v^2}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}-\gamma^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}=\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}-\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}$

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) \frac{v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - (\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} = (\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) \frac{v^{2}}{C^{4}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} - (\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}}

$\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}=\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{v^2}{c^4}\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}$

(\frac{v^{2}}{C^{2} - v^{2}}) \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - (\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} = (\frac{v^{2}}{C^{2} - v^{2}}) \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} \frac{1}{C^{2}} - (\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}}

$\left( \frac{v^2}{c^2-v^2}\right)\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}=\left( \frac{v^2}{c^2-v^2}\right)\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}\frac{1}{c^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}$

\frac{\partial ϕ^{2}}{\partial X^{' 2}} (\frac{v^{2}}{C^{2} - v^{2}} - \frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} \frac{1}{C^{2}} (\frac{v^{2}}{C^{2} - v^{2}} - \frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}})

$\frac{\partial \phi^2}{\partial x'^2}\left(\frac{v^2}{c^2-v^2}- \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)=\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}\frac{1}{c^2}\left(\frac{v^2}{c^2-v^2}- \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)$

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}$

BebopButUnsteady

Wenn Sie die beiden Ergebnisse kombinieren und die Definition von verwenden

γ

$\gamma$ Bekommst du nicht die richtige Antwort?

nervexxx

Was Sie getan haben, ist richtig. Wenn Sie kündigen

γ^{2}

$\gamma^2$ In diesem Stadium erhalten Sie

(v^{2} / c^{2} - 1) * (wave equation)

$(v^2/c^2 - 1)*(\text{wave equation})$ . Dies ist nur die Wellengleichung multipliziert mit einem konstanten Faktor, was immer noch eine Wellengleichung ist, aber das verwirrt Sie, weil Sie erwarten, dass die Konstante gleich ist

1

$1$ . Anstatt zu kündigen

γ^{2}

$\gamma^2$ Ersetzen Sie in diesem Stadium das, was ist, und Sie werden feststellen, dass die Wellengleichung ohne lästige multiplikative Konstante im Vordergrund entsteht.

Antworten (3)

Lorentz-Invarianz der Wellengleichung

Wenn Sie die beiden Ergebnisse kombinieren und die Definition von verwenden $\gamma$ Bekommst du nicht die richtige Antwort?
Was Sie getan haben, ist richtig. Wenn Sie kündigen $\gamma^2$ In diesem Stadium erhalten Sie $(v^2/c^2 - 1)*(\text{wave equation})$ . Dies ist nur die Wellengleichung multipliziert mit einem konstanten Faktor, was immer noch eine Wellengleichung ist, aber das verwirrt Sie, weil Sie erwarten, dass die Konstante gleich ist $1$ . Anstatt zu kündigen $\gamma^2$ Ersetzen Sie in diesem Stadium das, was ist, und Sie werden feststellen, dass die Wellengleichung ohne lästige multiplikative Konstante im Vordergrund entsteht.

nervexxx · Answer 1

Erstens ist Ihre Wellengleichung falsch. Sie können dies aus der Dimensionsanalyse sehen. Es sollte sein

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{2}} = C^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \end{align}$

[Bearbeiten (30.05.2020): Der Poster hat die Frage bearbeitet, um diesen Fehler zu korrigieren, sodass der obige Punkt nicht mehr gilt].

Zweitens haben Sie einen Fehler in den Querbegriffen für die gemacht $\partial^2 /\partial x^2$ Begriff. Der Kreuzterm sollte den Koeffizienten haben $-2\gamma^2 v/c^2$ .

Drittens nutzen Sie die Tatsache, dass $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ .

Sie erhalten das gewünschte Ergebnis.

Entschuldigung nervxxx. Die Wellengleichung in der Frage ist einschließlich der Dimension korrekt. Es ist genau das gleiche, das Sie zitiert haben, multiplizieren Sie einfach zwei Seiten mit c ^ 2.
@Riad ja, äußerst scharfsinnige Beobachtung. Die Antwort, die ich gegeben habe, war eine direkte Antwort auf Version 1 der Frage, die inzwischen bearbeitet wurde, um die richtige Wellengleichung anzuzeigen.

Rischi · Answer 2

Es lohnt sich, einen wichtigen Punkt hervorzuheben, der in der Frage überflogen wird: Die angegebene Wellengleichung ist im Allgemeinen unter einem Schub nicht unveränderlich. Sie ist nur Lorentz-invariant, wenn sich die Welle mit einer Geschwindigkeit ausbreitet $c$ . Insbesondere für eine Welle, die sich mit einer Geschwindigkeit fortbewegt $v$ befriedigend

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}$ in einem bestimmten Koordinatensystem ist die gegebene Wellengleichung invariant unter einer Lorentz-Transformation zu einem sich mit Geschwindigkeit bewegenden Rahmen

β c

$\beta c$ gegeben von

\begin{aligned} T^{'} & = γ (T - \frac{β X}{C}) \\ X^{'} & = γ (X - β C T) \end{aligned}

$\begin{align}t'&=\gamma\left(t-\frac{\beta x}{c}\right)\\x'&=\gamma(x-\beta c t)\end{align}$ nur wenn

v = \pm c

$v=\pm c$ . Diese Variablenkonvention (insbesondere die Bedeutung von

v

$v$ ) ist in der Frage anders.

Der Beweis für diese Aussage wird durch eine geringfügige Modifikation des in der Frage durchgeführten Kalküls gefunden. Wir haben

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} & = \frac{γ^{2} β^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} + γ^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - \frac{2 γ^{2} β}{C} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{'} \partial T^{'}}; \\ \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{2}} & = γ^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} + γ^{2} β^{2} C^{2} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - 2 γ^{2} β C \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{'} \partial T^{'}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}&=\frac{\gamma^2\beta^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}+\gamma^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}-\frac{2\gamma^2\beta}{c}\frac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial t'};\\ \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}&=\gamma^2\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}+\gamma^2\beta^2c^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}-2\gamma^2\beta c\frac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial t'}. \end{align}$ Wenn wir diese in die ursprüngliche Wellengleichung einsetzen, finden wir die folgende Gleichung in Bezug auf verstärkte Koordinaten

(\frac{γ^{2}}{v^{2}} - \frac{γ^{2} β^{2}}{C^{2}}) \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} = (γ^{2} - \frac{γ^{2} β^{2} C^{2}}{v^{2}}) \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} - (\frac{2 γ^{2} β}{C} - \frac{2 γ^{2} β C}{v^{2}}) \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{'} \partial T^{'}} .

$\left(\frac{\gamma^2}{v^2}-\frac{\gamma^2\beta^2}{c^2}\right)\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}=\left(\gamma^2-\frac{\gamma^2\beta^2c^2}{v^2}\right)\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}-\left(\frac{2\gamma^2\beta}{c}-\frac{2\gamma^2\beta c}{v^2}\right)\frac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial t'}.$ Offensichtlich ist die Wellengleichung nur dann invariant, wenn der Term der gemischten Teilsignale verschwindet. Wir haben

\frac{2 γ^{2} β}{C} = \frac{2 γ^{2} β C}{v^{2}} \Rightarrow v = \pm C .

$\frac{2\gamma^2\beta}{c}=\frac{2\gamma^2\beta c}{v^2}\Rightarrow v=\pm c.$ Durchführen dieser Ersetzung für

v

$v$ in der Wellengleichung in gestrichenen Koordinaten die ursprüngliche Form mit Wellengeschwindigkeit

c

$c$ wird wiederhergestellt:

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial T^{' 2}} .

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}.$ Dies sagt uns, dass die Geschwindigkeit der Welle, die im verstärkten Rahmen beobachtet wird, ebenfalls ist

c

$c$ , was mit dem Prinzip übereinstimmt, dass die vom verstärkten Beobachter gemessene Lichtgeschwindigkeit ebenfalls ist

c

$c$ .

Ziyuan · Answer 3

Was ich tue, unterscheidet sich nicht von anderen, kann aber etwas prägnanter sein. Erst lassen $\tau=ct$ Und

L = γ (v) (\begin{matrix} 1 & - v / C \\ - v / C & 1 \end{matrix})

$L=\gamma(v)\begin{pmatrix} 1 & -v/c\\-v/c & 1 \end{pmatrix}$ Dann

(\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X^{'}} \\ \frac{\partial}{\partial τ^{'}} \end{matrix}) = L (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X} \\ \frac{\partial}{\partial τ} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x'} \\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial \tau'} \end{pmatrix} =L \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} \\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial \tau} \end{pmatrix}$ Und

\begin{aligned} (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} & \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{'} \partial τ^{'}} \\ \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{'} \partial τ^{'}} & \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial τ^{' 2}} \end{matrix}) = & (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X^{'}} \\ \frac{\partial}{\partial τ^{'}} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X^{'}} \frac{\partial}{\partial τ^{'}} \end{matrix}) ϕ = [L (\begin{matrix} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} & \frac{\partial^{2}}{\partial X \partial τ} \\ \frac{\partial^{2}}{\partial X \partial τ} & \frac{\partial^{2}}{\partial τ^{2}} \end{matrix}) L^{T}] ϕ \\ = & γ^{2} (v) (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} - \frac{2 v}{C} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X \partial τ} + \frac{v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial τ^{2}} & * \\ * & \frac{v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} - \frac{2 v}{C} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X \partial τ} + \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial τ^{2}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x'^2} & \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial\tau'}\\[3pt] \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial\tau'} & \dfrac{\partial^2\phi}{\partial \tau'^2} \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x'} \\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial \tau'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x'} \dfrac{\partial}{\partial \tau'} \end{pmatrix}\phi =\left[L\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2}{\partial x\partial\tau}\\[3pt] \dfrac{\partial^2}{\partial x\partial\tau} & \dfrac{\partial^2}{\partial \tau^2} \end{pmatrix}L^\mathrm{T}\right]\phi\\ =&\gamma^2(v) \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\dfrac{2v}{c}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x\partial\tau}+\dfrac{v^2}{c^2}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} & * \\[3pt] * & \dfrac{v^2}{c^2}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\dfrac{2v}{c}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x\partial\tau}+\dfrac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} \end{pmatrix} \end{align*}$ So

\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial τ^{2}} ⟺ \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} + \frac{v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial τ^{2}} = \frac{v^{2}}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial τ^{2}} ⟺ \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial X^{' 2}} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial τ^{' 2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} \Longleftrightarrow\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2}=\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} \Longleftrightarrow\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau'^2}$

Lorentz-Invarianz der Wellengleichung

Jorge Lavin

BebopButUnsteady

nervexxx

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nervexxx

Riad

nervexxx

Rischi

Ziyuan

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