Beschleunigung von Objekten mit Geschwindigkeiten vergleichbar mit ccc. Können wir die Beschleunigung des Rahmens finden, indem wir vvv in 1/1−v2/c2−−−−−−−−√1/1−v2/c21/\sqrt{1-v^2/c^2} als Variable behandeln ?

Question

Beschleunigung von Objekten mit Geschwindigkeiten vergleichbar mit ccc. Können wir die Beschleunigung des Rahmens finden, indem wir vvv in 1/1−v2/c2−−−−−−−−√1/1−v2/c21/\sqrt{1-v^2/c^2} als Variable behandeln ?

Tee ist Leben

Wir wissen, dass die $v-t$ Der Graph für konstante Beschleunigung ist eine gerade Linie. Aber wenn die Geschwindigkeit vergleichbar wird $c$ , der Lichtgeschwindigkeit, kommen relativistische Effekte ins Spiel. Angenommen, eine Rakete auf der Erde startet aus der Ruhe (A) mit konstanter Beschleunigung oder (B) mit zunehmender Beschleunigung. Da es in beiden Fällen eine Beschleunigung gibt, wird die Geschwindigkeit zunehmen, aber niemals erreicht werden $c$ was bedeutet, dass die Beschleunigung irgendwo abnehmen muss. Dann sieht die Grafik so aus:

Ich habe versucht, einen Ausdruck für die Beschleunigung zu erhalten, indem ich die inversen Lorentz-Transformationsgleichungen in STR verwendete.
In STR die $v$ In $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ ist konstant. Aber in diesem Raketenbeispiel dies $v$ ändert sich selbst und deshalb habe ich es als Variable behandelt. Lass die Rakete sein $S'$ und die Erde sei $S$ Und $S'$ mitgehen $x$ -Richtung. Jetzt ab zu sehen $S$ Wie $S'$ beschleunigt, nahm ich eine feste Position ein $x'$ -Achse. Der Einfachheit halber habe ich seinen Ursprung genommen, dh $x'=0$ so dass $x=vt'\gamma$ . Dann habe ich differenziert $x$ gegenüber $t$ , ersetzt $t'$ , ersetzt $\frac{dt'}{dt}$ und versucht, einen Ausdruck für zu bekommen $\frac{dv}{dt}$ . Aber das Ergebnis, das ich bekam, macht keinen Sinn.
Ich bin mit GR nicht vertraut, also dachte ich, dass dies in GR erklärt werden muss, und ich habe im Internet gesucht, ob es eine solche Formel gibt, aber keine gefunden. Ist es der falsche Weg, den ich gehe? Wenn es in GR steht, was ich nicht kenne, suche ich nach Möglichkeit eine kurze Erklärung, wie Beschleunigung in GR verstanden wird.

Selene Rouley

Für solche Probleme brauchen Sie GR nicht: SR ist für jede Art von beschleunigter Bewegung in flacher Raumzeit geeignet.

Kyle Kanos

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Hallo Angelika. Ich beantworte die Frage nach konstanter Eigenbeschleunigung in Erfährt der Pilot eines Raketenschiffs eine asymptotische Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit? . Ich habe dies nicht als Duplikat gekennzeichnet, da es sich nicht um die variable Beschleunigung handelt. Dazu müssten Sie sich ansehen, wie man willkürliche Beschleunigungen in der speziellen Relativitätstheorie beschreibt .

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Beschleunigung von Objekten mit Geschwindigkeiten vergleichbar mit ccc. Können wir die Beschleunigung des Rahmens finden, indem wir vvv in 1/1−v2/c2−−−−−−−−√1/1−v2/c21/\sqrt{1-v^2/c^2} als Variable behandeln ?

Für solche Probleme brauchen Sie GR nicht: SR ist für jede Art von beschleunigter Bewegung in flacher Raumzeit geeignet.
Hallo Angelika. Ich beantworte die Frage nach konstanter Eigenbeschleunigung in Erfährt der Pilot eines Raketenschiffs eine asymptotische Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit? . Ich habe dies nicht als Duplikat gekennzeichnet, da es sich nicht um die variable Beschleunigung handelt. Dazu müssten Sie sich ansehen, wie man willkürliche Beschleunigungen in der speziellen Relativitätstheorie beschreibt .

Selene Rouley · Answer 1

Zuerst ein Kommentar, dass Sie GR für Probleme wie dieses nicht brauchen: SR ist in Ordnung für jede Art von beschleunigter Bewegung in flacher Raumzeit.

Stellen Sie sich die Bewegung als eine Folge von Boosts vor. Denken Sie zunächst diskret darüber nach. Bei jedem Schritt erfährt das Objekt den gleichen Schub: Machen wir es zu einem kleinen Objekt mit relativer Geschwindigkeit $\Delta v$ , mit einer Boost-Matrix $\Lambda(\Delta v)$ . So danach $n$ Von diesen Boosts können wir sehen, dass der Gesamtboost die Form hat $\Lambda(\Delta v)^n$ ; wir lassen die $\Delta v\to 0$ Und $n$ sehr groß werden, und damit unsere gesamte Boost-Matrix nach $n$ Schritte sieht aus $\exp(n \Delta\eta)$ , wo Sie "kalibrieren" $\Delta\eta$ für die richtige Beschleunigung. Ausgeschrieben ist unser Gesamtboost:

\exp (N Δ η) = (\begin{array}{cc} cosch (N Δ η) & Sünde (N Δ η) \\ Sünde (N Δ η) & cosch (N Δ η) \end{array})

$\exp(n \Delta\eta) = \left(\begin{array}{cc}\cosh(n \Delta\eta)&\sinh(n \Delta\eta)\\\sinh(n \Delta\eta)& \cosh(n \Delta\eta)\end{array}\right)$

Nehmen wir nun an, das beschleunigte Teilchen macht dasselbe $\Delta v$ steigern Sie nach jedem $\Delta t$ Sekunden seiner Zeit. Jede $\Delta t$ seiner Zeit ist $\Delta t \gamma=\Delta t \cosh(n \Delta\eta)$ unserer Zeit: Wir sind die Beobachter, die das gleichmäßig beschleunigende Objekt beobachten und seine Geschwindigkeit aufzeichnen. Die Gesamtzeit nach unserer Uhr $n$ Schritte ist daher proportional zu $\sinh(n\,\Delta \eta) = \int_0^{n\,\Delta\eta}\cosh(u)\,\mathrm{d}u$ . Daher:

T = k Sünde (N Δ η) = \frac{k v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$t = k\,\sinh(n\,\Delta \eta)=\frac{k\,v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(unter Verwendung der Beziehung $v/c = \tanh(n\,\Delta\eta)$ ) und beim Umordnen erhalten wir:

v = \frac{C T}{\sqrt{C^{2} k^{2} + T^{2}}}

$v=\frac{c\, t}{\sqrt{c^2 k^2+t^2}}$

was für kleine zeiten ist $v = t/k$ , also sehen Sie das $k$ ist der Kehrwert der Beschleunigung. Die Kurve, die Sie zeichnen, ist also wie Ihre Kurve (A), die Sie ohnehin von vornherein kennen, da Sie wissen, dass sie bei niedrigen Geschwindigkeiten wie eine nichtrelativistische Gleichlaufbeschleunigung aussehen muss, sich also einem linearen Zusammenhang annähern muss . Schreiben wir es also in Bezug auf die Beschleunigung aus $a$ ; es ist:

v = \frac{A T}{\sqrt{1 + A^{2} \frac{T^{2}}{C^{2}}}}

$v=\frac{a\, t}{\sqrt{1+a^2\,\frac{t^2}{c^2}}}$

Das $a$ ist die konstante "Schwerkraft", die der Raumfahrer im beschleunigenden Fahrzeug spüren würde: Sie würden sich genau so fühlen, als ob sie auf der Erde stünden $a=g$ . Es klappt übrigens ziemlich genau $2\,c/3$ wenn du beschleunigst $1\,g$ für ein Jahr (Erdzeit).

Dieses Problem wird ausführlicher in Abschnitt 6.2 von Misner, Thorne und Wheeler, "Gravitation", behandelt. John Baez untersucht dieses Problem (obwohl auch er dieselbe MTW-Quelle zitiert) in Bezug auf unsere Fähigkeit, den Weltraum auf seiner Relativistic Rocket Page zu erforschen . Die Behandlung von Misner Thorne und Wheeler ist allgemeiner als meine, aber das Obige ist eine einfache Grundprinzipien-Überlegung. Ich würde Ihnen raten, nachzuschlagen und etwas über vier Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zu lernen, wenn Sie diese nicht bereits studiert haben.

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