Was macht schnelle (Beschleunigung/Verlangsamung) Beschleunigung in der Relativitätstheorie mit Trägheitsuhren?

Das ist eine schwierigere Frage als Sie denken, denn um sie zu beantworten, müssen Sie eine Geodäte in den Rindler-Koordinaten berechnen.

Wenn Sie mit einer konstanten Beschleunigung beschleunigen$a$dann ist die Metrik in Ihren (beschleunigenden) Koordinaten gegeben durch:

$$ds^2 = -\left(1 + \frac{ax}{c^2}\right)^2c^2dt^2 + dx^2$$

Sie beschleunigen auf die Erde zu, also setzen wir die Erde auf positiv$x$, was die Beschleunigung bedeutet$a$ist auch positiv. In diesen Koordinaten beschleunigt die Erde jetzt auf Sie zu und zieht dabei eine Weltlinie nach, und Sie müssen die geodätische Gleichung lösen, die Anfangsbedingungen eingeben und dann die Länge der Weltlinie der Erde berechnen, die 1 Sekunde entspricht, in der Sie beschleunigen für.

Ich muss gestehen, dass ich nicht weiß, wie man diese Berechnung durchführt, und tatsächlich weiß ich nicht einmal, ob die geodätische Gleichung eine geschlossene Form hat. Ich habe seit einiger Zeit erfolglos nach der Lösung für dieses Problem gegoogelt. Wenn jemand weiß, wie man diese Berechnung durchführt, würde mich interessieren, wie es gemacht wird.

Aber wir können uns wie folgt eine ungefähre Vorstellung machen. Angenommen, Sie beschleunigen kurz genug, damit sich die Erde nicht wesentlich bewegt, dann ist die Weglänge der Weltlinie der Erde nur die verstrichene Zeit. Und das können wir ganz einfach per Einstellung berechnen$dx = 0$und Umschreiben der Metrik als:

$$d\tau^2 = \left(1 + \frac{ax}{c^2}\right)^2dt^2$$

was uns sofort gibt:

$$\frac{d\tau}{dt} = 1 + \frac{ax}{c^2}$$

In dieser Gleichung$x$ist die Entfernung zur Erde (8 Lichtjahre) und$a$ist Ihre richtige Beschleunigung (0,8$c$/Sek.). Setze ich diese Werte in deine Gleichung ein, bekomme ich:

$$\frac{d\tau}{dt} \approx 2 \times 10^8$$

Also während der$1$Zweitens beschleunigst du ungefähr$2 \times 10^8$Sekunden vergehen auf der Erde.

Ich werde den letzten Teil Ihrer Frage ansprechen, nämlich wie man das in Einklang bringt$10$Jahre, die auf der Erde mit der Uhr vergingen$3.6$Jahre, die der Reisende naiv erwartet hätte. Ich werde mich nicht auf die Details der Beschleunigungsphase konzentrieren, und ich gehe davon aus, dass die Geschwindigkeitsänderung aus$0$Zu$0.8c$passiert augenblicklich.

Die Lösung des Paradoxons hat, wie so oft in der Relativitätstheorie, mit Gleichzeitigkeit zu tun . Insbesondere der Beobachter auf der Erde und der Reisende werden sich darüber uneinig sein, ob ihre Uhren zur gleichen Zeit bei Null begonnen haben oder nicht .

Die Situation ist im folgenden Minkowski-Diagramm skizziert. Der$(x,t)$Koordinaten stellen den Erdrahmen dar, und$(x',t')$der Rahmen des Reisenden, wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt$v=0.8c$Richtung Erde. Der Lorentzfaktor ist

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{5}{3}.$$

Angenommen, der Beobachter hat eine Uhr$\text{A}$auf dem er eine Zeit liest$t_\text{A}$, und der Reisende hat eine Uhr$\text{B}$Anzeige einer Zeit$t'_\text{B}$. Nehmen wir das auch mal an$\text{A}$Und$\text{B}$synchronisiert werden, bevor der Läufer zu beschleunigen beginnt, so dass$t_\text{A}=0$Und$t'_\text{B}=0$zugleich im Rahmen des Betrachters . In diesem Moment beschleunigt der Reisende auf eine Geschwindigkeit$v=0.8c$dem Beobachter auf der Erde entgegen, und nach dieser schnellen Beschleunigung ruht er in der$(x',t')$Trägheitsrahmen. Auch seine Anfangsdistanz ist$d=8$ly, im Rahmen des Beobachters.

Die Beziehung zwischen beiden Rahmen ist durch die Lorentz-Transformationen gegeben:

$$\begin{align} x' &= \gamma\left[(x-d) + vt \vphantom{1^1_1}\right]\tag{1},\\ t' &= \gamma\left[t + (x-d)v/c^2\vphantom{1^1_1}\right]\tag{2}. \end{align}$$ (man beachte die $+$Zeichen, weil sich der Reisende in die negative Richtung bewegt, und das Extra $d$wegen des Versatzes zwischen den Ursprüngen der Frames). Der Reisende ruht in seinem eigenen Rahmen, dh $x'=0$, und aus Gl. (1) wir erhalten seinen Weg im Rahmen des Beobachters: $$x = d - vt.$$ Der Beobachter (at $x=0$) liest auf seiner Uhr $\text{A}$dass der Reisende ihn wann erreicht $$t_\text{A} = d/v = 10\;\text{y},$$ und aus Gl. (2) finden wir die entsprechende Reisezeit für den Reisenden: $$t'_\text{B} = \gamma\left[t_\text{A} -dv/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = \gamma\left[t_\text{A} -t_\text{A}v^2/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = t_\text{A}/\gamma = 6\;\text{y},$$ wie erwartet. Also, aus der Sicht des Beobachters, Uhren $\text{A}$Und $\text{B}$waren ursprünglich synchronisiert, gingen aber aufgrund der Zeitdilatation des Reisenden aus dem Takt.

Was passiert aus Sicht des Reisenden? Zunächst stellt er fest, dass sich der Abstand zum Betrachter verändert hat: Er misst den Abstand$d'$entlang der$x'$-Achse, was Einstellung bedeutet$t'=0$Und$x=0$. Aus Gl. (2) wir haben

$$t = dv/c^2\tag{3},$$ und diese in Gl. (1) wir bekommen $$d' = -x' = -\gamma\left[-d + dv^2/c^2 \vphantom{1^1_1}\right] = d/\gamma= 4.8\;\text{ly},$$ im Einklang mit $t'_\text{B} = d'/v$. Aber was schließt er aus Uhr $\text{A}$? Aufgrund seiner Beschleunigung wechselte er von der $(x,t)$Trägheitsrahmen zum $(x',t')$Trägheitsrahmen. Damit hat sich auch seine Vorstellung von Gleichzeitigkeit verändert: in der $(x',t')$Rahmen, Uhren $\text{A}$Und $\text{B}$ nicht gleichzeitig gestartet .

Geben wir dem Beobachter auf der Erde tatsächlich eine zweite Uhr$\text{C}$, die gleichzeitig mit der Uhr auf Null gesetzt wird$\text{B}$ nach Angaben des Reisenden in der$(x',t')$rahmen. Mit anderen Worten,$t_\text{C}=0$bei$t'=0$Und$x=0$. Und wir haben bereits in Gl. (3) was die entsprechende Uhrzeit auf der Uhr ist$\text{A}$:

$$t_\text{A} = dv/c^2 = 6.4\;\text{y,}\quad\text{for }t_\text{C}=0\;\text{y},\tag{4}$$ mit anderen Worten $$t_\text{C} = t_\text{A} - dv/c^2.$$ Und jetzt ist das Paradoxon gelöst, denn wenn der Reisende auf der Erde ankommt ( $x=0$), finden wir aus Gl. (2): $$t'_\text{B} = \gamma\left[t_\text{A} - dv/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = \gamma\, t_\text{C},$$ oder $$t_\text{C} = t'_\text{B}/\gamma = 3.6\;\text{y},$$ was im Einklang steht $$t_\text{C} = t_\text{A} - dv/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\;\text{y}.$$

AKTUALISIEREN

Was sieht der Reisende tatsächlich, wenn er Signale von der Uhr empfängt$\text{A}$? Wird er einen plötzlichen Sprung sehen? Nein, nach seiner Beschleunigung wird er diese Uhr sehen$\text{A}$tickt trotz Zeitdilatation dreimal schneller als seine eigene Uhr. Grund dafür ist der Doppler-Effekt: Lichtsignale brauchen immer weniger Zeit, um vom Beobachter zu ihm zu gelangen, je näher er der Erde kommt. Ich habe ein paar dieser Lichtstrahlen in der Abbildung hinzugefügt.

Angenommen, wir haben ein Signal, das von der Uhr gesendet wird$A$zum Zeitpunkt$t_\text{A,s}$. Dieses Signal folgt einem Pfad

$$x = c(t - t_\text{A,s}).$$ Der Reisende bewegt sich auf dem Weg $x=d-vt$, also erhält er das Signal wann $c(t - t_\text{A,s}) = d-vt$, oder $$t = \frac{d+ct_\text{A,s}}{c+v}.$$ Dies entspricht einer Zeit $t'_\text{B,r}=t/\gamma$auf der Reiseuhr (der Index $\text{r}$steht für 'received'), was bedeutet $$t'_\text{B,r} = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\left(d/c +t_\text{A,s}\right) = \frac{1}{3}(8 + t_\text{A,s}). \tag{5}$$ So sieht er diese Uhr $\text{A}$tickt 3 mal so schnell wie seine eigene. Er wird das Signal empfangen $t_\text{A,s}=-8$y bei $t'_\text{B,r}=0$ja; er wird das Signal empfangen $t_\text{A,s}=-6$y bei $t'_\text{B,r}=2/3$y, und so weiter, bis er sieht $t_\text{A,s}=10$ja wann $t'_\text{B,r}=6$y als er auf der Erde ankommt.

Hier ist ein Raumzeitdiagramm, das zeigt, was passiert und wie man die Frage löst, was gleichzeitig ist und was nicht.

Sie müssen zwei Dinge über Raum-Zeit-Diagramme wissen. Diagonale Abstände werden mit einem Satz von Pythagoras berechnet, jedoch mit einem Minuszeichen. Also die Zeit, die ein Reisender braucht, um die Strecke zurückzulegen$X$rechtzeitig$T$(Esel auf Erden gesehen) ist

$$t^2 = T^2 - X^2$$ .

Siehe das Diagramm unten, wo diese unterschiedlichen Zeiten markiert sind.

Lassen Sie uns rechnen: Sie sind$X=8$Lichtjahre von der Erde entfernt. Ihr habt eure Uhren darauf synchronisiert, dass sowohl ihr als auch die Erde bei euch anfangen$T=0$. Aber die Uhr auf der Erde, die ihr tatsächlich seht, zeigt$T=-X=-8$Jahre, denn das ist die Zeit, die das Licht brauchte, um dich zu erreichen. (Der Lichtkegel ist orange gepunktet gezeichnet).

Dann beschleunigst du (wahnsinnig schnell) damit du erreichst$v=0.8c$in einer Sekunde. Sie werden noch lesen$T=-X=-8$Jahre auf der Erduhr (es kommt dasselbe Licht).

Nun aber hat sich deine Sicht auf das, was gleichzeitig auf der Erde ist, geändert. Das liegt daran, dass sich Ihre Gleichzeitigkeitslinie geändert hat. In diesem Diagramm oben (und unten) habe ich auch die Linien der Gleichzeitigkeit als strichpunktierte rosa Linien eingezeichnet. (Der Lichtkegel ist orange gepunktet gezeichnet). Die Regel in Raum-Zeit-Diagrammen ist, dass die Gleichzeitigkeitslinie mit einem Lichtstrahl den gleichen Winkel bildet wie die Weltlinie eines Reisenden (die violetten Linien).

Da reist du an$v=0.8$($c=0$) Ihre Gleichzeitigkeitslinie im Diagramm hat nämlich eine Steigung$1/v$. Diese Linie schneidet die Weltlinie der Erde bei$T=X*v=8*0.8=6.4$Jahre. Daraus schließen Sie, dass Sie jetzt 6,4 Jahre in der Zukunft gleichzeitig mit der Erde sind. Aber ihr seht immer noch das Licht von 8 Jahren in der Vergangenheit.

Jetzt können Sie sehen, dass Sie, wenn Sie sich der Erde nähern, die Zukunft der Erde als gleichzeitig mit Ihrer Zeit betrachten. Die Uhr auf der Erde geht jedoch langsamer als deine und du wirst sehen, wie du die Zukunft der Erde stetig einholst und bis du ankommst, bist du zur gleichen Zeit.

Ich habe dies unten illustriert, das iv'e hat den Lichtkegel zur Verdeutlichung entfernt.

So fühlt es sich aber auf dem Schiff an. Du bist$X=8$ja weg und die Reise wird (aus der Erdperspektive) dauern$T=X/v=10$Jahre. Für Sie dauert die Reise

$$t^2 = T^2 - X^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$ So $t=6$Jahre. Wenn Sie sich also der Erde nähern, gehen Sie auf das Licht zu, das von der Erde ausgestrahlt wird, und auf die Uhr, von der Sie beobachtet werden $T=-8$Jahre, wenn Sie anfangen $T=10$Jahre, wenn Sie fertig sind. Die beobachteten Uhren auf der Erde sehen also so aus, als würden sie mit einer Rate von ticken $(10+8)/6=3$mal so schnell wie bei dir.

Schließlich habe ich in der letzten Abbildung unten gezeichnet, was passiert, wenn man sich von der Erde entfernt.

In diesem Fall werden Sie gleichzeitig mit der Vergangenheit der Erde sein (lila Linien). Aber die Informationen, die Sie von der Erde erreichen, werden immer noch in chronologischer Reihenfolge sein (orangefarbene Lichtlinien).

Obwohl die Relativität Ihre Perspektive auf das, was Gleichzeitigkeit ausmacht, ändert, können Sie niemals in die Zukunft blicken, indem Sie schnell (in irgendeine Richtung) gehen.

Hoffe das hilft ein bisschen.

Dies ist keine neue Antwort, aber sie ist etwas zu lang für einen Kommentar und könnte dazu beitragen, vorübergehende Verwirrung für jeden Neuen zu vermeiden, der darüber stolpert.

Das OP hat einen Reisenden, der 8 Lichtjahre von der Erde entfernt ist und vom Ruhesystem der Erde auf beschleunigt$v=.8$(in Richtung der Erde) in einer Sekunde (gemessen vom Reisenden) und fragt, wie viel Zeit während dieser Beschleunigung auf der Erde vergeht.

Es gibt zwei sehr unterschiedliche Möglichkeiten, diese Frage zu interpretieren.

Frage A lautet: Wie viel Zeit vergeht laut Reisender während der Beschleunigung auf den Erduhren?

Frage B lautet: Wie viel Zeit vergeht laut Aussage eines erdgebundenen Beobachters während der Beschleunigung auf Erduhren?

Wenn die Beschleunigung augenblicklich ist, ist es sehr einfach zu erkennen, dass die Antworten auf diese Fragen „6,4 Jahre“ für Frage A und „Null“ für Frage B lauten.

Da die eigentliche Frage die Beschleunigung laut Reisender nicht augenblicklich, sondern 1 Sekunde lang macht, sind die genauen Antworten ungefähr 6,4 Jahre und null.

Die Korrektur für Frage A auszuarbeiten ist einfach und langweilig. Die Korrektur für Frage B auszuarbeiten ist sowohl interessant als auch schwierig. Die Antwort von John Rennie befasst sich nur mit Frage B, wo er feststellt, dass die Korrektur ungefähr 14.000 Sekunden beträgt.

Was macht eine schnelle Beschleunigung/Verzögerung in der Relativitätstheorie mit Trägheitsuhren?

Nicht viel. Denken Sie an die Parallelspiegel-Lichtuhr, die in der Wikipedia verwendet wird, einfache Ableitung der Zeitdilatation aufgrund der relativen Geschwindigkeit . Beachten Sie, dass dies auf die relative Geschwindigkeit zurückzuführen ist. Sie brauchen eine gewisse Beschleunigung, um diese relative Geschwindigkeit zu erreichen, aber es ist die relative Geschwindigkeit, auf die es ankommt.

Zusammenfassung: Wenn ich in 1 Sekunde auf 0,8 ° C beschleunige, wie viel Zeit vergeht für Beobachter in meinem anfänglichen Trägheitsbezugssystem?

Eine Sekunde! LOL! Aber sagen wir mal, deine Durchschnittsgeschwindigkeit liegt bei 0,4c. Verwendung des Lorentzfaktors

$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ ergibt einen Zeitdilatationsfaktor von 0,9165. Wenn wir sagen, dass Sie sich bewegen und sie nicht vermeiden sollen, sich mit dem „Zwillingsparadoxon“ zu verzetteln , entspricht eine Sekunde Ihrer Zeit etwa 1,1 Sekunden ihrer Zeit. Beachten Sie jedoch, dass es nicht richtig ist, Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit zu verwenden. Die Zeitdilatation nimmt quadratisch zu, nicht linear. Siehe Wikipedia für einige komplexere Ausdrücke .

Ich starte 8 Lichtjahre von der Erde entfernt, in Ruhe in Bezug auf die Erde, und beobachte, dass die Zeit der Erde t = 0 ist. Technisch gesehen werde ich natürlich 8 Jahre brauchen, um dies zu wissen (Lichtgeschwindigkeitsreisezeit), aber ich glaube, dass die spezielle Relativitätstheorie mit meiner Aussage "es ist derzeit t = 0 auf der Erde" in Ordnung ist, da ich mich im selben Rahmen befinde als Erde.

Kein Problem.

Ich behalte die Erduhr im Auge und beschleunige in 1 Sekunde auf 0,8 °C. Weil ich beschleunige, weiß ich, dass die Uhr der Erde schneller gehen wird als meine. Die Frage ist: wie viel schneller und wo wird es enden, nachdem ich meine eine Sekunde Beschleunigung auf 0,8 c beendet habe

Die Beschleunigung solltest du vergessen. Wir reden von einem Bruchteil einer Sekunde. Das ist nichts im Vergleich zu deiner zehnjährigen Reise. Berechnen Sie den Zeitdilatationsfaktor, und es ist$\sqrt{1-0.8^2}$oder 0,6. Ihre Reise dauert sechs Jahre Schiffszeit.

Bei 0,8 °C beträgt die Entfernung zur Erde jetzt 4,8 Lichtjahre (abzüglich des kleinen Stücks, das ich während der Beschleunigung zurückgelegt habe). Die Uhr der Erde läuft jetzt durch Zeitdilatation langsamer als meine. Wenn also 6 meiner Jahre vergangen sind, sind auf der Erduhr weniger als 6 Jahre vergangen.

Nein. Die Entfernung zur Erde beträgt 8 Lichtjahre. Du weißt ganz genau, dass sich diese Distanz nicht ändert, nur weil du schnell fährst. Sie kennen die Längenkontraktion und dass Sie, wenn Sie versuchen würden, die Entfernung zu messen, 4,8 Lichtjahre erhalten würden. Aber Sie wissen, dass sich Ihre Maße geändert haben, das ist alles. Und Sie sollten wissen, dass Ihre Zeit erweitert ist und dass die Uhr der Erde zehn Jahre vorrückt, während Sie reisen.

Wenn ich mich der Erde nähere, "verlangsame" ich mich auf das Bezugssystem der Erde, so dass ich in Ruhe bin, wenn ich tatsächlich auf der Erde ankomme. Natürlich ist Verzögerung nur Beschleunigung in eine andere Richtung, also laufen die Uhren der Erde wieder einmal schneller als meine.

Vergessen Sie die Beschleunigung und Verzögerung. Die Uhr der Erde weicht am Ende um vier Jahre von Ihrer eigenen ab.

Und wieder einmal stellt sich die Frage: Wie viel Zeit verging in dieser einen Sekunde der Verlangsamung auf den Uhren der Erde?

Wir reden von einer Zehntelsekunde. Das ist nichts im Vergleich zu den vier Jahren. Vergiss es.

Was mich an diesem Problem ärgert: In den 6 Jahren, in denen ich bei 0,8c 0,8c unterwegs war, tickten die Uhren der Erde nur 3,6 Jahre durch Zeitdilatation.

Du wirst hier in das Twins Paradox hineingezogen. Finger weg. Konzentrieren Sie sich einfach auf die Lichtwege in Parallelspiegel-Lichtuhren, wie diese /\/\/\/\ und diese: ||.

Bis ich auf der Erde ankomme, müssen die Uhren der Erde 10 Jahre abgelaufen sein, da sie sagen, dass ich (die meisten der) 8 Lichtjahre bei 0,8 ° C reise.

Ja.

Die einzige Möglichkeit, diese Zahlen (10 Jahre minus 3,6 Jahre oder 6,4 Jahre) in Einklang zu bringen, besteht darin, dass meine 1 Sekunde Beschleunigung und Verzögerung jeweils 3,2 Erdenjahre (etwa 10 ^ 8 Sekunden) dauerte.

Nö.

Das scheint hoch, und ich kann die Zahlen/Formeln nicht finden, um dies zu ergeben, aber andererseits erscheint es einigermaßen vernünftig, dass die Zeit, die vergeht, nur von meiner Endgeschwindigkeit (0,8 c) abhängt und nicht davon, wie schnell ich bin diese Geschwindigkeit erreicht.

Wie ich schon sagte, Sie brauchen Beschleunigung für die relative Geschwindigkeit, aber letztere macht die Uhrenablesungen unterschiedlich. Denken Sie sich ein Szenario mit gleicher Beschleunigung und doppelter Distanz aus. Jetzt gibt es einen Unterschied von acht Jahren zwischen euren Uhren und der Erduhr. Geben oder nehmen Sie ein paar Zehntelsekunden oder zwei.