Maximale Eigenzeit in der Minkowski-Raumzeit für freie Teilchen

Betrachten Sie zwei Ereignisse A Und B entsprechend dem Beginn und dem Ende der Flugbahnen zweier massiver Teilchen. Das Teilchen mit dem Namen P 1 in freier Bewegung ist, und das andere Teilchen P 2 befindet sich in beschleunigter Bewegung. Beide Teilchen messen Ereignisse A Und B als Ereignisse, die am selben Ort in beiden Ruhesystemen auftreten, so messen beide Teilchen auch ihre jeweiligen Eigenzeiten, die zwischen diesen Ereignissen verstrichen sind. Wie kann ich beweisen, dass die Eigenzeit des freien Teilchens P 1 größer ist als die Eigenzeit des beschleunigten Teilchens P 2 ?

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Nähert man sich dem beschleunigten Weg ab A Zu B , von N "träge" Schritte:
A Zu A 1 , A 1 Zu A 2 ,..., A N − 1 Zu B :

T A − A 1 ' = γ 1 ( T 1 − v 1 Δ X 1 )
T A 1 − A 2 ' = γ 2 ( T 2 − v 2 Δ X 2 )
.
.
.
T A N − 1 − B ' = γ N ( T N − v N Δ X N )

Wo T k ist die Zeit von A k − 1 Zu A k gemessen am Trägheitsrahmen, Δ X k ist die Koordinatendifferenz X k − X k − 1 , gemessen auch durch den Trägheitsrahmen. Und v k ist die Geschwindigkeit jedes Schrittes.

Hinzufügen der Zeiten:

T A − B ' = Σ γ k T k − Σ γ k v k Δ X k

Aber: Δ X k = v k T k

T A − B ' = Σ γ k T k − Σ γ k v k 2 T k = Σ γ k T k ( 1 − v k 2 ) = Σ T k γ k

Als T A − B = Σ T k ⟹ T A − B > Σ T k γ k

T A − B > T A − B '

Der beschleunigte Pfad ist die Grenze, wenn die Zeit jedes Schrittes auf Null geht und die Anzahl der Schritte auf unendlich geht.

Ich habe deinen Ansatz verstanden, er gefällt mir. Aber kann ich das gleiche Argument des Einsteckens verwenden N Inertialsysteme in den umgekehrten Fall, dh wenn ich die gemessene Zeit diskretisiere N Ö N − A C C e l e R A T e D   P A R T ich C l e von N Trägheitsrahmen?
Ich glaube, ich kann das nicht, denn wenn ich das tue, erhalte ich die gegenteilige Antwort. Können Sie argumentieren, warum ich die entgegengesetzte Analyse nicht verwenden kann?
Jedes Inertialsystem ist in der speziellen Relativitätstheorie äquivalent. Aber wenn einer ausgewählt wird, müssen alle Berechnungen in diesem Rahmen durchgeführt werden.
Ihr Ansatz ist also richtig, da alle Analysen auf demselben Rahmen durchgeführt werden, dem Ruherahmen des freien Teilchens. Ist mein Versuch also falsch, weil ich die Analyse aus der Sicht vieler verschiedener Trägheitsreferenzrahmen mache?
Ja. Es ist wie das Zwillingsparadoxon, das 2 Schritte verwendet. Sie können den Erdrahmen, den Rahmen des reisenden Zwillings, der weggeht, oder den Rahmen des reisenden Zwillings, der zurückkommt, wählen. Aber es gibt keinen "Traveller Twin Frame", denn es gibt zwei davon, völlig unterschiedlich.

Es ist ziemlich offensichtlich aus der Aktion für massive Teilchen:

S = − M C 2 ∫ D τ
Wo τ ist die Eigenzeit des Teilchens.

Beachten Sie, dass sich die Partikel aufgrund des Minuszeichens auf einer Flugbahn mit maximaler Eigenzeit bewegen und diese Flugbahn eine freie Bewegung ist, da keine Kraft vorhanden ist. Jede andere Flugbahn hat also einen größeren Aktionswert und eine kleinere Eigenzeit.

Maximale Eigenzeit in der Minkowski-Raumzeit für freie Teilchen
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