Anwenden von Lorentz-Transformationen und Zeitdilatation

Question

Anwenden von Lorentz-Transformationen und Zeitdilatation

Abhishek Shetty

Meine Frage basiert auf einer populären Frage, die normalerweise in Einführungskursen zur speziellen Relativitätstheorie gestellt wird.

Zwei Raketen sind auf Kollisionskurs. Rakete 1 bewegt sich mit der Geschwindigkeit 0,8 c, während sich Rakete 2 mit der Geschwindigkeit 0,6 c bewegt, beide relativ zur Erde. Die Raketen sind $2.52 \times 10^{12}m$ auseinander, gemessen von Lucy in Ruhe auf der Erde. Beide Raketen sind 50 m hoch, gemessen von Lucy auf der Erde.

Die Frage hat normalerweise viele Teile in Bezug auf die Länge der Rakete, die Geschwindigkeit der Raketen vom Rahmen des anderen usw. Mein Problem betrifft die Frage nach der Zeit, die die Raketen benötigen, um in jedem Rahmen zu kollidieren. Da fallen mir zwei Methoden ein.

a. Messen Sie zuerst die Zeit, die für die Kollision in Lucys Rahmen benötigt wird (ergibt 100 Minuten) und berücksichtigen Sie dann die Zeitdilatation und berechnen Sie die richtige Zeit (dh dividieren Sie durch $\gamma$ ).

b. Der andere Ansatz besteht darin, die Entfernung im Rahmen einer der Raketen zu berechnen und dann die Kollisionszeit zu berechnen, indem die Geschwindigkeit der anderen Rakete im Rahmen der ersten Rakete verwendet wird.

Das Problem ist, dass die beiden Ansätze zu unterschiedlichen Antworten führen. Meine Frage ist also, welche Methode richtig ist, und erklären Sie bitte, warum der eine Ansatz funktioniert und der andere nicht.

Hypnosifl

"Kollisionszeit in Lucys Rahmen" zwischen welchem Ereignis und der Kollision? Sie brauchen immer ein Ereignispaar, um die Zeit dazwischen zu messen, und wenn Sie ein Ereignis wählen, das nicht auf Lucys Weltlinie liegt, müssen Sie die Relativität der Gleichzeitigkeit berücksichtigen ( nach dem, was ich gesehen habe, wenn jemand verwirrt ist über ein grundlegendes Problem in SR, ihre Verwirrung hat zu 99% damit zu tun, dass die Relativität der Gleichzeitigkeit nicht berücksichtigt wird).

Abhishek Shetty

Ich habe über die Frage der Gleichzeitigkeit nachgedacht. Aber ich konnte nicht wirklich auf die Antwort kommen. Der einzige Startpunkt, den wir haben, ist die Zeit, zu der die Entfernung in Lucys Rahmen die von mir erwähnte Zahl ist.

Hypnosifl

In Lucys Rahmen können Sie die Koordinaten von zwei Ereignissen aufschreiben, eines auf der Weltlinie jeder Rakete, die gleichzeitig in ihrem Rahmen sind und die die angegebene räumliche Trennung haben. Dann beträgt in ihrem Rahmen die Zeit zwischen beiden Ereignissen und der Kollision 100 Minuten. Für Rakete Nr. 1 können Sie die Zeitdilatationsformel verwenden, um die Zeit zwischen dem von Ihnen gewählten Ereignis auf der Weltlinie von Rakete Nr. 1 und der Kollision zu ermitteln, da diese beiden Ereignisse von einer ruhenden Uhr im Rahmen von Rakete 1 gemessen werden könnten, aber Sie können Verwenden Sie es nicht für die Zeit zwischen dem Ereignis auf der Weltlinie von Rakete Nr. 2 und der Kollision im Rahmen von Nr. 1.

Hypnosifl

Und wieder ist "die Zeit, die die Raketen brauchen, um zu kollidieren" eine bedeutungslose Frage, es sei denn, Sie geben an, zwischen welchen Ereignissen Sie die Zeit dazwischen in dem von Ihnen verwendeten Frame haben möchten. Wenn dies ein Problem ist, das Sie in einem Einführungskurs oder -text gesehen haben, können Sie den tatsächlichen Wortlaut zitieren?

Abhishek Shetty

Die genaue Formulierung lautet: "Wie lange wird es laut Rakete 1 dauern, bis sie kollidiert?" Ich habe dies auf einem Kursaufgabenblatt gefunden, für das ich den Link bereitstellen kann. Die Frage, die ich in meinem Kurs hatte, hatte mehr Flaum, aber im Wesentlichen war es die gleiche. Verknüpfung

Hypnosifl

OK, ich würde vermuten, dass sie nur meinen: "Wie lange würde es zwischen dem Ereignis auf der Weltlinie von Rocket 1 dauern, das in Lucys Rahmen in dem Moment stattfand, in dem die beiden Raketen waren

2.52 * 10^{12}

$2.52 * 10^{12}$ m auseinander.“ In diesem Fall können Sie einfach die Zeitdilatationsformel anwenden. Aber wenn Sie herausfinden möchten, wie weit Rocket 2 im Moment dieses Ereignisses auf der Weltlinie von Rocket 1 im Rahmen von Rocket 1 entfernt war, können Sie das nicht Wenden Sie einfach die Längenkontraktionsformel an

2.52 * 10^{12}

$2.52 * 10^{12}$ m, Sie müssen das Ereignis auf der Weltlinie von Rocket 2 finden, das gleichzeitig mit dem Ereignis auf der Weltlinie von Rocket 1 im Rahmen von Rocket 1 stattfindet.

Abhishek Shetty

Tatsächlich habe ich einen Link zu einer Seite gefunden, die genau die Frage enthält, die mir gestellt wurde. link2

Antworten (1)

Anwenden von Lorentz-Transformationen und Zeitdilatation

"Kollisionszeit in Lucys Rahmen" zwischen welchem Ereignis und der Kollision? Sie brauchen immer ein Ereignispaar, um die Zeit dazwischen zu messen, und wenn Sie ein Ereignis wählen, das nicht auf Lucys Weltlinie liegt, müssen Sie die Relativität der Gleichzeitigkeit berücksichtigen ( nach dem, was ich gesehen habe, wenn jemand verwirrt ist über ein grundlegendes Problem in SR, ihre Verwirrung hat zu 99% damit zu tun, dass die Relativität der Gleichzeitigkeit nicht berücksichtigt wird).
Ich habe über die Frage der Gleichzeitigkeit nachgedacht. Aber ich konnte nicht wirklich auf die Antwort kommen. Der einzige Startpunkt, den wir haben, ist die Zeit, zu der die Entfernung in Lucys Rahmen die von mir erwähnte Zahl ist.
In Lucys Rahmen können Sie die Koordinaten von zwei Ereignissen aufschreiben, eines auf der Weltlinie jeder Rakete, die gleichzeitig in ihrem Rahmen sind und die die angegebene räumliche Trennung haben. Dann beträgt in ihrem Rahmen die Zeit zwischen beiden Ereignissen und der Kollision 100 Minuten. Für Rakete Nr. 1 können Sie die Zeitdilatationsformel verwenden, um die Zeit zwischen dem von Ihnen gewählten Ereignis auf der Weltlinie von Rakete Nr. 1 und der Kollision zu ermitteln, da diese beiden Ereignisse von einer ruhenden Uhr im Rahmen von Rakete 1 gemessen werden könnten, aber Sie können Verwenden Sie es nicht für die Zeit zwischen dem Ereignis auf der Weltlinie von Rakete Nr. 2 und der Kollision im Rahmen von Nr. 1.
Und wieder ist "die Zeit, die die Raketen brauchen, um zu kollidieren" eine bedeutungslose Frage, es sei denn, Sie geben an, zwischen welchen Ereignissen Sie die Zeit dazwischen in dem von Ihnen verwendeten Frame haben möchten. Wenn dies ein Problem ist, das Sie in einem Einführungskurs oder -text gesehen haben, können Sie den tatsächlichen Wortlaut zitieren?
Die genaue Formulierung lautet: "Wie lange wird es laut Rakete 1 dauern, bis sie kollidiert?" Ich habe dies auf einem Kursaufgabenblatt gefunden, für das ich den Link bereitstellen kann. Die Frage, die ich in meinem Kurs hatte, hatte mehr Flaum, aber im Wesentlichen war es die gleiche. Verknüpfung
OK, ich würde vermuten, dass sie nur meinen: "Wie lange würde es zwischen dem Ereignis auf der Weltlinie von Rocket 1 dauern, das in Lucys Rahmen in dem Moment stattfand, in dem die beiden Raketen waren $2.52 * 10^{12}$ m auseinander.“ In diesem Fall können Sie einfach die Zeitdilatationsformel anwenden. Aber wenn Sie herausfinden möchten, wie weit Rocket 2 im Moment dieses Ereignisses auf der Weltlinie von Rocket 1 im Rahmen von Rocket 1 entfernt war, können Sie das nicht Wenden Sie einfach die Längenkontraktionsformel an $2.52 * 10^{12}$ m, Sie müssen das Ereignis auf der Weltlinie von Rocket 2 finden, das gleichzeitig mit dem Ereignis auf der Weltlinie von Rocket 1 im Rahmen von Rocket 1 stattfindet.
Tatsächlich habe ich einen Link zu einer Seite gefunden, die genau die Frage enthält, die mir gestellt wurde. link2

Alfred Centauri · Answer 1

Meine Frage ist also, welche Methode richtig ist, und erklären Sie bitte, warum der eine Ansatz funktioniert und der andere nicht.

Für Methode eins kennt Liz die anfängliche Trennung und die Geschwindigkeiten der einzelnen Raketen, sodass die Berechnung der Zeit bis zum Einschlag unkompliziert ist.

Das wahrscheinlichste Problem bei Methode zwei ist auf die Relativität der Gleichzeitigkeit zurückzuführen. Dies ist ein subtiler Punkt, der deutlich wird, wenn Sie ein Raumzeitdiagramm zeichnen.

Man kann die Längenkontraktionsformel nicht auf die anfängliche Trennung in Liz' Rahmen anwenden. Der Kontext, in dem das Längenkontraktionsergebnis abgeleitet wird, nimmt die Länge an $L$ ist zeitlich konstant.

Allerdings ändert sich der Trennungsabstand mit der Zeit und muss daher aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit berücksichtigt werden.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wenn $d_0$ der Anfangsabstand zwischen den Raketen nach Liz ist, dann ist der Anfangsabstand nach Rocket 1

D_{0}^{'} = \frac{D_{0} \sqrt{1 - (0,8)^{2}}}{1 + (0,8) (0,6)}

$d'_0 = \frac{d_0 \sqrt{1 - (0.8)^2}}{1 + (0.8)(0.6)}$

dabei ist die Geschwindigkeit von Rocket 2 entsprechend Rocket 1

v_{2}^{'} = \frac{0,6 + 0,8}{1 + (0,8) (0,6)} C

$v'_2 = \frac{0.6 + 0.8}{1 + (0.8)(0.6)}c$

so dass die Zeit bis zur Kollision laut Rakete 1 ist

Δ T^{'} = \frac{D_{0}^{'}}{v_{2}^{'}} = \frac{D_{0}}{(0,6 + 0,8) C} \sqrt{1 - (0,8)^{2}} = Δ T \sqrt{1 - (0,8)^{2}}

$\Delta t' = \frac{d'_0}{v'_2} = \frac{d_0}{(0.6 + 0.8)c}\sqrt{1 - (0.8)^2} = \Delta t \sqrt{1 - (0.8)^2}$

Wo $\Delta t$ ist die Zeit bis zur Kollision in Liz' Rahmen.

Aber genau das ist das Ergebnis von Methode eins. Die beiden Methoden stimmen also tatsächlich überein, wenn Methode zwei richtig durchgeführt wird.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die naive Anwendung der Längenkontraktion auf den anfänglichen Trennungsabstand in Liz 'Frame eine andere Antwort als Methode 1 ergibt. Der Grund dafür ist, dass der Trennungsabstand in keinem Frame konstant ist. Daher kann die Längenkontraktionsformel nicht angewendet werden.

Wie ich bereits erwähnt habe, wird dies durch ein Raum-Zeit-Diagramm deutlich.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Können Sie erklären, wie Sie Distanz zu Rakete 1 gefunden haben? Hauptsächlich wie kam der Nennerfaktor zustande? Ich bekomme, dass die Länge im Laufe der Zeit unterschiedlich sein wird, also kann man die Längenkontraktion nicht verwenden, um die Länge der Rakete zu finden. Aber wenn Sie für andere Leute die Antwort ändern und den Beweis zeigen können, wie man den Nennerfaktor der Raketenlänge A erhält, wäre das für mich und die anderen auch sehr hilfreich.

Anwenden von Lorentz-Transformationen und Zeitdilatation

Abhishek Shetty

Hypnosifl

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Hypnosifl

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Hypnosifl

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