Warum sind Eigenzeit und Eigenlänge nicht im selben Bezugsrahmen definiert?

Es gibt keinen Widerspruch. Aus deinem Zitat:

Die Eigenlänge eines Objekts ist die Länge des Objekts in dem Rahmen, in dem das Objekt ruht.

Und

Die Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen – wie dem Ereignis, dass Licht auf dem Fahrzeug emittiert wird, und dem Ereignis, dass Licht auf dem Fahrzeug empfangen wird – ist die Zeit zwischen den beiden Ereignissen in einem Rahmen, in dem die Ereignisse am selben Ort stattfinden.

Offensichtlich ist das Ruhesystem eines Objekts ein System, in dem alle Ereignisse, die es betreffen, am selben Ort stattfinden.

Daher werden Eigenlänge und Eigenzeit hier im gleichen Bezugsrahmen definiert - dem des ruhenden Objekts.

Sie sollten jedoch beachten, dass dies nicht die "beste" Definition der Eigenzeit ist . Angesichts der Minkowski-Metrik

$$g_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu = \mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}t^2 - \frac{1}{c^2}\mathrm{d}\vec x^2$$ man definiert die richtige Länge eines Beobachters, der entlang einer Weltlinie reist $\gamma : [t_0,t_1]\to\mathbb{R}^4$als Integral des infinitesimalen Längenelements $\mathrm{d}s$dabei: $$\tau = \int_\gamma \mathrm{d}s = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}\gamma^0}{\mathrm{d}t}\right)^2 - \frac{1}{c^2} \sum_{i=1}^3 \left(\frac{\mathrm{d}\gamma^i}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t$$ was mit der früheren Definition im Ruhesystem übereinstimmt, weil die Weltlinie eines Beobachters in seinem eigenen System gerade ist $\gamma(t) = (t,0,0,0)^T$, hat aber den Vorteil, dass sie offensichtlich Lorentz-invariant ist – dies zeigt, dass alle Beobachter sich einig sind, was die richtige Zeit für jeden anderen Beobachter ist, den sie sehen.

Die Eigenzeit ist eine geometrische Eigenschaft der Raumzeit: multipliziert mit c ist sie einfach die "Länge" eines Stücks einer Weltlinie des Teilchens; "eine geometrische Eigenschaft" bedeutet Unabhängigkeit vom Koordinatensystem (wie im euklidischen Raum ist die Länge der Kurve unabhängig vom Koordinatensystem). Die Raumzeitgeometrie ist jedoch anders als die euklidische: Die "Länge" in der Raumzeit bedeutet Pseudolänge (dh sie kann für nicht identische Punkte gleich Null sein, wie für die Weltlinie eines Photons). ACuriousMind♦ hat es im wirklich CuriousMindnes-Stil erklärt!

In der Raumzeit der allgemeinen Relativität (oder in jeder anderen$n$-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit) die Länge der Kurve ist

$$L(\gamma )=\int_{\gamma} ds = \int \limits _{t_0}^{t_1}{\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}{\Bigg |}}}\,\, dt$$

Wo$g_{ij}(\gamma (t))$- Am Punkt berechneter metrischer Tensor$\gamma (t), t\in \langle t_0, t_1\rangle$. Endlich,

$$\tau=\frac{L(\gamma )}{c}$$ ist eine Eigenzeit eines Teilchens, das sich entlang der Kurve bewegt (die Zeit kann mit der Teilchenuhr gemessen werden, aber die Länge kann nicht mit einem festen metrischen Balken gemessen werden, wie im euklidischen Raum).

Eine als „eigentlich“ bezeichnete Größe oder geometrische Relation kann so verstanden werden, dass sie „sich auf die dadurch (direkt, intrinsisch) charakterisierten Beteiligten bezieht“.

Folglich können wir zum Beispiel betrachten

• die "eigentliche Länge eines gegebenen Zuges", als der Abstand seiner beiden Enden ("Spitze der Lokomotive,$A$" und " ETD ,$B$") untereinander, sofern sie tatsächlich zueinander in Ruhe blieben,

• die "eigentliche Länge eines bestimmten Gleisabschnitts", als der Abstand seiner beiden Enden (z. B. die beiden entsprechenden Eisenbahnschwellen ,$J$Und$K$) untereinander, sofern sie tatsächlich zueinander in Ruhe blieben,

• die "Eigenzeit" (eher: Dauer) des Loktipps$A$, aus$A$'s Angabe, dass es vorbeigegangen ist$J$bis$A$'s Angabe, dass es vorbeigegangen ist$K$(Wenn$A$war tatsächlich von Eisenbahnschwellen passiert worden$J$Und$K$, in dieser Reihenfolge) und

• die "Eigenzeit" (Dauer) der Eisenbahnsperre$J$, aus$J$'s Angabe, dass es vorbeigegangen ist$A$bis$J$'s Anzeige gleichzeitig mit Eisenbahnschwelle$K$'s Angabe, dass es vorbeigegangen ist$A$(bereitgestellt$J$Und$K$sie blieben tatsächlich zueinander in Ruhe, so dass es ihnen gelingen konnte festzustellen, welche Anzeige des einen gleichzeitig mit welcher Anzeige des anderen erfolgt war).

Eine Berechtigung und ein Anlass, „eigentliche“ Größen und Relationen überhaupt hervorzuheben, ergibt sich daraus, dass in manchen Darstellungen der Relativitätstheorie bestimmte Größen und Relationen zwar „äußerlich“ und damit „falsch“ zugeschrieben werden; zum Beispiel

• indem man den Abstand zwischen einem bestimmten Paar von Eisenbahnschwellen (das in diesem Sinne für sich genommen vollkommen "richtig" ist) auch die "(unrichtige) Länge des fahrenden Zuges" (im Unterschied zu seiner eigenen richtigen Länge) nennt, oder

• indem dem Prozess (Teilen davon) eine durch Eisenbahnverbindungen bestimmte Dauer zugeschrieben wird; oder einfach dadurch, dass die Dauer der Gleisbelegung durch einen (fahrenden) Zug nicht sorgfältig von der Fahrtdauer des Zuges (selbst) unterschieden wird.

ps
Einige Anmerkungen zur Beziehung zwischen den Dauern "$\Delta \tau$" von Teilnehmern und Intervallen "$s^2$" zwischen Ereignispaaren:

Betrachtet man zwei Ereignisse, die "zeitlich" aufeinander bezogen sind, also so, dass es mindestens einen Teilnehmer gibt, der zuerst an dem einen und dann an dem anderen Ereignis teilgenommen hat, dann ist die Größe des Abstands zwischen diesen beiden Ereignissen,$\sqrt{-s^2}$(dh unter Verwendung der Zeichenkonvention von Wikipedia ) ist gegeben durch die Dauer des (oder irgendeines) Teilnehmers, der sich gleichmäßig (unbeschleunigt, träge) zwischen diesen Ereignissen bewegte; Dies ist (mit der angegebenen Tagung) die längste Dauer von der Angabe, an einer dieser beiden Veranstaltungen teilgenommen zu haben, bis zur Angabe, an der anderen teilgenommen zu haben, aller zutreffenden Teilnehmer.

Soweit wiederum die Bahn eines Teilnehmers stückweise durch Abschnitte gleichförmiger Bewegung angenähert werden kann, kann die Dauer dieses Teilnehmers von seiner Angabe, an einem Ereignis teilgenommen zu haben, bis zu seiner Angabe, an einem anderen Ereignis teilgenommen zu haben, (ungefähr) ausgedrückt werden als Summe von Intervallgrößen über geeignete Wegstücke; und in der Grenze, den Weg durch immer mehr zusätzliche Ereignisse "auf dem Weg" mit immer kleineren Stücken zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen (im Vergleich zum Intervall magnituide zwischen den beiden Wegenden) als Integral zu beschreiben.

Abschließend ist zu betonen, dass alle diese Bestimmungen selbstverständlich unabhängig von etwaigen (möglichen, optionalen) Zuordnungen von Koordinaten zu Ereignissen und/oder zu Teilnehmern und deren Angaben sind.