Lorentz-Transformationen: Welches Koordinatensystem ist markiert?

Ich bin verwirrt über eine grundlegende Frage zur speziellen Relativitätstheorie. Wir haben also die Lorentz-Transformationen

X ' = γ ( X − u T ) T ' = γ ( T − u X / C 2 )   ,

wo Rahmen S ' bewegt sich mit Geschwindigkeit u relativ zum Rahmen S und die beiden Rahmen fallen bei zusammen T = T ' = 0 .

Meine Verwirrung ist also: Woher wissen Sie, welches das markierte Koordinatensystem in einer bestimmten Situation sein sollte? (Ich weiß, ich könnte die Formel für die Längenkontraktion einfach anwenden, aber ich würde es gerne so verstehen).

Ich dachte, ich hätte es herausgefunden und dass es von der Fahrtrichtung abhängt: S ' bewegt sich mit Geschwindigkeit u > 0 in positiver Richtung relativ zu S . Und auf den ersten Blick funktioniert das für mein konkretes Beispiel, das so aussieht:

F: Ein Myon entsteht 6 km über der Erde und bewegt sich auf sie zu 0,998 C . Wie weit ist es von einem sich mit dem Myon bewegenden Rahmen von der Erde entfernt?

A: Mit der obigen Logik scheint zunächst alles in Ordnung zu sein. Ich wähle zwei Referenzrahmen, in denen sich die Position des Myons befindet j μ = j μ ' = 0 bei T = T ' = 0 , und das j -Achsen zeigen von der Erde nach oben. In dieser Anordnung bewegt sich der relativ zur Erde stillstehende Rahmen in die positive Richtung des anderen, also sollte letzterer der markierte sein.

Dann wird die Entfernung zur Erde von beiden Koordinatensystemen gemessen, immer noch bei T = T ' = 0 (Da bin ich mir eigentlich auch ein bisschen unsicher, kann man das so sagen?). In dem markierten Rahmen, der relativ zur Erde still steht, finden wir j E ' = − 6 km . Der Abstand in diesem Rahmen ist daher

L ' = j μ ' − j E ' = 6 km   .

Jetzt im anderen Rahmen, der sich mit dem Myon bewegt, erhalten wir

L = j μ − j E = j μ ' γ + u T − ( j E ' γ + u T ) = L ' γ = 379  M   ,

und dies gibt die richtige, längenverkürzte Antwort.

PROBLEM: Wenn ich jetzt die Koordinatensysteme auf den Kopf stelle, also vom Myon zur Erde zeigt (was völlig in Ordnung sein sollte), bekomme ich mit der gleichen Logik die falsche Antwort. In diesem Fall bewegt sich der Rahmen, der sich mit dem Myon bewegt, relativ zum anderen in die positive Richtung, sodass ich die entgegengesetzte Wahl bekomme, welcher Rahmen markiert ist.

Wo ist der Fehler in der Logik?

Oh, das ist eine sehr gut geschriebene Frage!
Könnten Sie die Antwort aufschreiben, zu der Sie für das "umgedrehte" Koordinatensystem gekommen sind?

Antworten (1)

Das "Zeichen" (oder vielleicht korrekter "Prime") unterscheidet zwei Trägheitsbezugssysteme. Sie können jeden Rahmen "markieren", wie Sie möchten - es ist lediglich eine Notation, aber die Konvention, die ich unten festlege, ist sehr verbreitet.

  • Länge ist der räumliche Abstand zwischen "Ereignissen", die gleichzeitig stattfinden - die Ereignisse sind die Vorder- und Rückseite eines Objekts.

  • "Eigenlänge" ist die Länge im Rahmen, in der Vorder- und Rückseite des Objekts ruhen. Dies ist der ungrundierte Rahmen Ö . Lassen Sie uns die richtige Länge mit bezeichnen L 0 .

  • "Zusammengezogene Länge" ist die Länge in einem Rahmen, in dem Vorder- und Rückseite des Objekts nicht ruhen, sondern sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen v . Das ist der grundierte Rahmen Ö ' . Lassen Sie uns die kontrahierte Länge mit bezeichnen L '

Der Vierervektor zwischen der Vorder- und Rückseite des Objekts in seinem Ruhesystem ist

Δ X μ = X F R Ö N T μ − X B A C k μ = ( 0 , L 0 , 0 , 0 ) .
Boosten auf einen Rahmen, in dem das Objekt nicht ruht, finden wir
( Δ X μ ) ' = ( γ β L 0 , γ L 0 , 0 , 0 ) .
Jetzt treten die vorderen und hinteren Ereignisse nicht gleichzeitig auf. Wir passen dies an und finden die übliche Formel für die Längenkontraktion:
L ' = γ L 0 − β δ T = γ L 0 − β 2 γ L 0 = L 0 / γ
In dieser Formel die gestrichene Länge L ' muss die Länge im Rahmen sein, in der das Objekt nicht ruht. Sie können eine andere Konvention für auswählen Ö ' Und Ö wenn Sie möchten, aber Sie können die Physik nicht ändern - die Länge wird in dem Rahmen zusammengezogen, in dem das Objekt nicht ruht.

Danke! Eine Frage: In diesem Fall sind die Endpunkte (dh das Myon und die Erde) in keinem der Koordinatensysteme beide in Ruhe. Würden Sie sagen, dass so etwas wie der "Maßstab", der zwischen der Erde und dem Erscheinen des Myons verwendet wurde, im Erdkoordinatensystem ruht? Außerdem: Sollte es nicht möglich sein, genau zu verstehen, wie es geht, indem Sie einfach die Lorentz-Transformationsgleichungen verwenden, wie sie im OP stehen?
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