Relativistische Kinematik - 2-Körper-Teilchenzerfall

Betrachten Sie das Szenario, in dem ein Massenteilchen$M$zerfällt in zwei leichtere Masseteilchen$m_1$Und$m_2.$Im Massenmittelpunkt (dh$\mathbf{p}_1$Und$\mathbf{p}_2$, die Impulse der Produkte, summieren sich zu Null) lauten die Gleichungen für die Größe der Impulse jedes der Teilchen wie folgt:

$$p=\left|\mathbf{p}_1\right|=\left|\mathbf{p}_2\right|=\frac{\left[\left(M^2-(m_1+m_2)^2\right)\left(M^2-(m_1-m_2)^2\right)\right]^{1/2}}{2M}\,\,\,[\textrm{see ref., Eq. (45.16)}]$$

Wenn ich jedoch versuche, es nach Grundprinzipien zu berechnen, komme ich zu etwas anderem. Hier mein Versuch:

Im Schwerpunktsystem vor dem Zerfall war die Gesamtenergie des Systems$E^2=M^2c^4$. Nach dem Zerfall war die Gesamtenergie durch gegeben

$$\begin{align*}E'^2&=p^2c^2+m_1^2c^4+p^2c^2+m_2^2c^4\\ &=2p^2c^2+(m_1^2+m_2^2)c^4\end{align*}$$

Da angenommen wird, dass Energie erhalten bleibt (Referenzrahmen ist derselbe), bedeutet dies, dass

$$\begin{align}M^2c^4&=2p^2c^2+(m_1^2+m_2^2)c^4\\ \implies p^2&=\frac{c^2}{2}\left(M^2-(m_1^2+m_2^2)\right)\\ p&=\frac{c}{\sqrt{2}}\sqrt{M^2-(m_1^2+m_2^2)}\end{align}$$

Meine Antwort scheint völlig anders zu sein als das, was ich bekommen soll, daher bin ich mir sicher, dass mein Ansatz schrecklich ungültig ist. Ich weiß aber nicht wie. Könnten Sie bitte auf meine Fehler hinweisen und mich möglicherweise in die richtige Richtung lenken?

[ref] http://pdg.lbl.gov/2013/reviews/rpp2013-rev-kinematics.pdf