Ableitung der einfachen Lorentz-Boost-Identität, dp'z/dpzdpz'/dpzdp'_z/dp_z

Angesichts eines Lorentz-Schubs in der$z$-Richtung, in natürlichen Einheiten können wir schreiben

$$p'_z = \gamma(p_z+\beta E)\,,\;\;\;\;\;E' = \gamma(E+\beta p_z)\,.$$

In Einführung in die QFT von Peskins & Schroeder, p. 23 wird folgende Behauptung aufgestellt:

$$\frac{dp'_z}{dp_z} \equiv \frac{E'}{E}$$

Ich kann das nicht bewirken. Mein Versuch ist folgender.

$$\begin{split} \frac{dp'_z}{dp_z} &= \gamma\left(1 + \beta\frac{dE}{dp_z}\right)\,;\\ \frac{dE}{dp_z} &= \frac{d}{dp_z}\left(\frac{p}{\beta}\right) \\ &= \frac{d}{dp_z}\left(\frac{[p_x^2+p_y^2+p_z^2]^{1/2}}{\beta}\right) \\ &= \frac{p_z}{\beta [p_x^2+p_y^2+p_z^2]^{1/2}} = \frac{p_z}{\beta p}\\ \implies \frac{dp'_z}{dp_z} &= \gamma\left(1 + \frac{p_z}{p}\right) \end{split}$$

Seit$E = \gamma m$Und$p = \gamma m\beta$, wir haben$p = \beta E$, Deshalb

$$\frac{dp'_z}{dp_z} = \gamma\left(1 + \frac{1}{\beta}\frac{p_z}{E}\right)\,.$$

Nach der Definition von$E'$, wir haben

$$\frac{E'}{E} = \gamma\left(1 + \beta\frac{p_z}{E}\right) \neq \frac{dp'_z}{dp_z}\,.$$

Habe ich etwas Dummes getan?

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Als Referenz ist die betreffende Buchableitung der Beweis dafür, dass die Menge$\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})$ist nicht Lorentz-invariant, wobei$\mathbf{p}$Und$\mathbf{q}$sind Momente. Sie lassen ein paar Zeilen weg und sagen das

$$\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}) = \delta^{(3)}(\mathbf{p'}-\mathbf{q'})\cdot\frac{dp'_z}{dp_z} = \delta^{(3)}(\mathbf{p'}-\mathbf{q'})\cdot\frac{E'}{E}\,.$$