Ich kann mein Verständnis der Längenkontraktion nicht mit der Lorentz-Transformation in Einklang bringen

Question

Ich kann mein Verständnis der Längenkontraktion nicht mit der Lorentz-Transformation in Einklang bringen

Noah M

Ich studiere derzeit einen Bachelor-Studiengang in Spezieller Relativitätstheorie. Ich dachte, ich hätte den Stoff verstanden, aber das Durchlesen für den Test hat mich noch verwirrter gemacht als zu Beginn. Insbesondere hatten wir folgendes Problem:

Ein Raumfahrer jagt ein außerirdisches Raumschiff. Wie von einem stationären Beobachter auf der Erde aus gesehen, bewegen sich die Außerirdischen mit einer konstanten Geschwindigkeit von $0.4c$ und der Raumfahrer fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $0.6c$ . Anfangs sind sie bei $1\space lightyear$ auseinander. Wie lange dauert es im Bezugsrahmen des Raumfahrers , bis die Außerirdischen gefangen werden?

Vorwort

Die richtige Antwort lautet 4 Jahre.

Sie kamen zu dieser Antwort, indem sie berechneten, wie lange es im Erdrahmen dauern würde: $\frac{1 \space light year}{0.6c - 0.4c} = 5\space years.$ Dann stellte der Professor fest, dass die Astronautenzeit langsamer läuft, weil sie sich relativ zur Erde bewegt $0.6c$ , also die Dauer der Verfolgungsjagd im Rahmen des Astronauten $\frac{1}{\gamma}*5 * 0.8*5 = 4\space years$ . Diese Lösung machte für mich Sinn, NACHDEM ich sie gelesen hatte.

Ich konnte es anders lösen. Ich habe die Weltlinie der Raumfahrer im Erdrahmen parametrisiert als

{\vec{R}}_{S} = (0,6 λ, λ)

$\vec r_S = (0.6\lambda, \lambda)$ Im Rahmen der Erde befindet sich die Weltlinie des Außerirdischen

{\vec{R}}_{A} = (0,4 λ + 1, λ) .

$\vec r_A = (0.4\lambda + 1, \lambda).$ HINWEIS, diese beiden sind in Bezug auf geschrieben

(x, c t)

$(x, ct)$ . Wenn wir uns in den Rahmen des Raumfahrers verwandeln , dann wird gemäß der Lorentz-Transformation die neue Form der Weltlinien sein

(x^{'}, c t^{'}) = ([γ (x - \frac{u}{c} c t)], [γ (c t - \frac{u}{c} x]))

$(x', ct') = ( [\gamma (x - \frac{u}{c}ct)],\space[\gamma (ct -\frac{u}{c}x]))$ . In diesem grundierten Rahmen

{\vec{R}}_{S}^{'} = (0, 8 λ)

$\vec r'_S = (0, 8\lambda)$

{\vec{R}}_{A}^{'} = (1.25 - 0,25 λ, 0,95 λ - 1,75)

$\vec r'_A = (1.25 - 0.25\lambda, 0.95\lambda - 1.75)$ Um den Zeitpunkt der Kollision zu finden, fand ich wo

x_{S}^{'} = x_{A}^{'}

$x'_S = x'_A$ . Wenn man die Algebra überspringt, geschieht dies an den Koordinaten

λ = 5 : (X^{'}, C T^{'}) = (0, 4)

$\lambda = 5: (x', ct') = (0, 4)$ - so wie erwartet.

Meine Frage

Ich habe dieses Problem anfangs falsch verstanden, weil ich versucht habe, die Lösung mithilfe der Längenkontraktion im Rahmen des Raumfahrers zu finden. Ich argumentierte, dass, wenn sich der Raumfahrer relativ zur Erde bewegt, seine Messung der Entfernungen in x-Richtung um einen Faktor von verkürzt und kürzer wird $1/\gamma$ . Als wir im Unterricht über das Zwillingsparadoxon diskutierten, sprachen wir darüber, wie der Erdzwilling die Uhr von Rocket-twin langsamer „sehen“ wird, was erklärt, warum Rocket-twin denkt, dass die Reise zum Stern kürzer ist. Dann sprachen wir darüber, wie Rocket-Twin die Länge ihrer Reise verkürzt sehen wird, weil "1 m" in ihrem Rahmen kürzer ist als ein Meterstab im Rahmen der Erde und die Entfernung ursprünglich im Rahmen der Erde gemessen wurde. Siehe diese Frage für ein weiteres Beispiel dieser Logik.

Diese Überlegung ist fehlgeschlagen. Wenn der Abstand zwischen dem Menschen und den auf der Erde gemessenen Außerirdischen im Rahmen des Menschen durch kontrahiert wird $1/\gamma \mid \beta=0.6$ , dann wird er die Aliens als einzige sehen $0.8\space lightyears$ zunächst weg. Zusätzlich betrachten wir die Steigung von $r'_A$ im grundierten rahmen sehen wir, dass sich die aliens auf den raumfahrer zubewegen $0.263c$ . Also sollte er nicht nur die Verfolgungsjagd sehen $\frac{0.8}{0.263} = 3.04\space years$ ?

Sogar diese falsche Lösung zu ignorieren. Wenn die Geschwindigkeit des Aliens ist $0.263c$ auf ihn zu, dann sollte er sie nicht reisen sehen $4 * 0.263c = 1.052\space ly$ in seinem Rahmen?

1.) Warum kann ich dieses Problem nicht mit Längenkontraktion und Relativgeschwindigkeit lösen?

2.) Warum berechne ich die sich bewegenden 1,052 Lichtjahre des Außerirdischen im Rahmen des Raumfahrers? MEHR als im Rahmen der Erde?

Antworten (1)

Ich kann mein Verständnis der Längenkontraktion nicht mit der Lorentz-Transformation in Einklang bringen

Benutzer12029 · Answer 1

Ich arbeite mit c=1 und Vektoren in der Form $(t,x)$

Die Längenkontraktion ist eigentlich eine Aussage über parallele Linien.

Sie nehmen Weltlinien $(t,x_0)$ Und $(t,x_0+\ell)$ , wenden Sie eine Lorentz-Transformation an und parametrieren Sie sie neu, um Weltlinien zu erhalten $(t', x_0'+\beta t')$ Und $(t', x_0'+\ell/\gamma+\beta t')$ . Der Abstand zwischen den beiden Linien ändert sich zu $\ell/\gamma$ , und das ist Ihre Längenkontraktion.

Wenn Sie die Längenkontraktion, an der Sie interessiert sind, nicht in Form von parallelen Linien formulieren können, muss sie nicht existieren, oder Sie können größere Abstände erhalten! Das mag wie ein Widerspruch zum Nennwert klingen (wenn sich Verträge und andere Dinge ausdehnen, laufen sie dann nicht irgendwann zusammen?), aber die Lorentz-Transformation ist umkehrbar – es kann keinen Widerspruch geben.

Die Fakten zur Sache sind folgende:

Erdkoordinaten $(t,x)$ :

Ereignis, bei dem das Schiff ablegt: $(0,0)$ .
Ereignis, bei dem die Aliens losrennen: $(0,1)$
Ereignis, bei dem das Schiff die Außerirdischen fängt: $(5,3)$

Schiffskoordinaten $(t',x')$ :

Ereignis, bei dem das Schiff ablegt: $(0,0)$ .
Ereignis, bei dem die Aliens losrennen: $(-0.75, 1.25)$ (Gleichzeitigkeit ist unterbrochen)
Ereignis, bei dem das Schiff die Außerirdischen fängt: $(4,0)$
Ort, an dem die Außerirdischen waren $t'=0$ : $(0., 1.0526)$

Diese Tatsachen folgen direkt aus der Lorentz-Transformation. Die allgemeine Antwort für die Position der Außerirdischen bei $t'=0$ , für sich schnell bewegendes Raumschiff $\beta$ , Ausländer, der sich mit Geschwindigkeit bewegt $\alpha$ , zunächst eine Distanz $\ell$ von der Erde (alle Angaben bei t=0 im Erdkoordinatensystem), ist $\frac{1}{\gamma}\frac{\ell}{1-\alpha \beta}$ , mit $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ . Dies ist die Menge, die Sie durch die Geschwindigkeit der Außerirdischen im Rahmen des Raumschiffs teilen können, um die vom Raumschiff gemessene Zeit zu erhalten.

Das sieht der Längenkontraktion und Geschwindigkeitsaddition unheimlich ähnlich, also gibt es vielleicht eine nette Lösung, die diese verwendet.

[bearbeiten] gefunden! Gehen Sie wie folgt vor: Stellen Sie sich eine Linie vor, die parallel zur Weltlinie des Außerirdischen verläuft und durch den Ursprung im Rahmen der Erde verläuft. Gehen Sie zu einem Rahmen, in dem beide Weltlinien vertikal sind: Der horizontale Abstand zwischen den Linien wird um den Faktor von erweitert $1/\sqrt{1-\alpha^2}$ und das Raumschiff bewegt sich mit hoher Geschwindigkeit $\beta'=\frac{\beta-\alpha}{1-\beta \alpha}$ . Gehen Sie nun in das Bild, in dem das Raumschiff ruht: Die neue Entfernung schrumpft um den Faktor $\sqrt{1-\beta'^2}$ . Die Antwort lautet also:

ℓ^{″} = ℓ \sqrt{1 - β^{' 2}} / \sqrt{1 - a^{2}}

$\ell''=\ell \sqrt{1-\beta'^2}/\sqrt{1-\alpha^2}$

Schmeißen Sie das in Mathematik (ich bin zu faul, um es tatsächlich zu erweitern $\beta'^2$ !) zeigt das tatsächlich:

ℓ_{0}^{'} = ℓ \sqrt{1 - β^{' 2}} / \sqrt{1 - a^{2}} = ℓ \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{1 - a β}

$\ell_0'=\ell\sqrt{1-\beta'^2}/\sqrt{1-\alpha^2}=\ell\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\alpha\beta}$

Division durch den Absolutwert der Geschwindigkeit $\frac{\beta-\alpha}{1-\beta \alpha}$ gibt:

T^{'} = ℓ \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{| a - β |}

$t'=\ell\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{|\alpha-\beta|}$

Einstecken $\ell=1$ , $\beta=0.6$ , $\alpha=0.4$ gibt $t'=4.0$ . So $\ell_0'/v'$ liefert wirklich das richtige Ergebnis.

Danke schön! Ich bin froh zu sehen, dass es ein Argument gibt, das auf der Längenkontraktion basiert, das richtig ist. Ich nehme an, dass ich die Relativität der Gleichzeitigkeit immer noch nicht vollständig verstehe. Ich verstehe das Gedankenexperiment über den Blitz, der zwei Seiten eines fahrenden Zuges trifft, weil es um die Beobachtung von Lichtblitzen geht. Wenn ich es anderswo anwende, kann ich es jedoch nicht nachvollziehen. Und so verstehe ich immer noch nicht ganz, warum das Original $l_0$ konnte nicht kontrahiert werden, da ich Kontraktion als Effekt einer nicht gleichzeitigen Messung verstanden habe. Wenn das Ausdehnen der Zeit funktioniert, warum keine Entfernung?
@spanishinquisitor Die Längenkontraktion ist eine Folge der speziellen Relativitätstheorie - der Lorentz-Transformation. Dasselbe gilt für die Zeitdilatation! Sie können die Längenkontraktionsformel auf Entfernungen anwenden - wie die Entfernung zwischen zwei relativ zueinander ruhenden Sternen -, weil die Sterne in der Raumzeit parallele Linien ziehen. Die Längenkontraktion sagt Ihnen, wie sich der Abstand dieser parallelen Linien ändert. Es ist sicherlich kein Effekt einer nicht gleichzeitigen Messung, aber es ist eine spezielle Relativitätstheorie, also hat "Gleichzeitigkeit" keine wirkliche physikalische Bedeutung.

Ich kann mein Verständnis der Längenkontraktion nicht mit der Lorentz-Transformation in Einklang bringen

Noah M

Vorwort

Meine Frage

1.) Warum kann ich dieses Problem nicht mit Längenkontraktion und Relativgeschwindigkeit lösen?

2.) Warum berechne ich die sich bewegenden 1,052 Lichtjahre des Außerirdischen im Rahmen des Raumfahrers? MEHR als im Rahmen der Erde?

Antworten (1)

Benutzer12029

Noah M

Benutzer12029

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