Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit

Question

Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit

Verrückt werden

In einem Bezugssystem $\Sigma$ ein Teilchen hat Geschwindigkeit $\vec{v} = v \hat{z}$ . Wie groß ist die Geschwindigkeit des Teilchens in einem System $\Sigma'$ sich mit Geschwindigkeit bewegen $\vec{u} = u \hat{z}$ relativ zu $\Sigma$ ?

Man nimmt den 4-Vektor $v^\mu = \gamma(1,\vec{v}/c) = \gamma(1,0,0,v/c)$ und Lorentz-transformiert es gemäß:

v^{μ^{'}} = (\begin{matrix} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{matrix}) (\begin{matrix} γ \\ 0 \\ 0 \\ γ v / C \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ γ^{2} (- β + v / C) \end{matrix}) ≅ (\begin{matrix} γ \\ 0 \\ 0 \\ γ v^{'} / C \end{matrix})

$v^{\mu '} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & - \beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \\ 0 \\ \gamma v /c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \gamma^2 (-\beta + v / c ) \end{pmatrix} \cong \begin{pmatrix} \gamma \\ 0 \\ 0 \\ \gamma v' /c \end{pmatrix}$

und deshalb $v' = \gamma (-u + v).$

Die bekannte Formel für relativistische Geschwindigkeitstransformationen lautet jedoch:

v^{'} = \frac{v + u}{1 + \frac{v u}{C^{2}}},

$v' = \frac{v + u}{1 + \frac{v u }{c^2}},$

das ist nicht dasselbe wie oben. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

Antworten (1)

Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit

Achmeteli · Answer 1

Achmeteli

Sie multiplizieren eine 4x4-Matrix mit einer 4x1-Matrix, aber die Gammas in 4x4- und 4x1-Matrizen müssen sich auf unterschiedliche Geschwindigkeiten beziehen, daher sind sie unterschiedlich. Wie erhalten Sie also Gamma im Quadrat?

Verrückt werden

Daher:

v^{μ^{'}} = (\begin{matrix} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ v / C \end{matrix}) = (\begin{matrix} γ - β γ v / C \\ 0 \\ 0 \\ γ (- β + v / C) \end{matrix}) ≅ (\begin{matrix} γ^{'} \\ 0 \\ 0 \\ γ^{'} v^{'} / C \end{matrix})

$v^{\mu '} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & - \beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ v /c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma - \beta \gamma v/c \\ 0 \\ 0 \\ \gamma (-\beta + v / c ) \end{pmatrix} \cong \begin{pmatrix} \gamma' \\ 0 \\ 0 \\ \gamma' v' /c \end{pmatrix}$

Verrückt werden

und das ergibt:

γ^{'} = γ (1 - u v / c^{2})

$\gamma' = \gamma (1 - u v /c^2)$ und somit,

v^{'} = \frac{- u + v}{1 - \frac{u v}{C^{2}}} .

$v' = \frac{- u + v}{1- \frac{uv}{c^2}}.$ Das Minuszeichen von

u

$u$ ergibt sich wohl aus einer anderen Vorzeichenkonvention, oder nicht?

Achmeteli

Es kann eine Reihe von Gründen geben: eine Vorzeichenkonvention oder vielleicht kovariante und kontravariante Koordinaten verwechselt. Ich bin sicher, Sie können es selbst regeln.

Pulsar

@Breaking M_a_t Es gibt drei verschiedene Gammas: in der 4x4-Matrix, die Sie haben

γ_{u} = (1 - u^{2} / c^{2})^{- 1 / 2}

$\gamma_u = (1 - u^2/c^2)^{-1/2}$ , in der ersten 4x1-Matrix gibt es a

γ_{v} = (1 - v^{2} / c^{2})^{- 1 / 2}

$\gamma_v = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}$ , und in der letzten 4x1-Matrix gibt es a

γ^{'} = (1 - v^{' 2} / c^{2})^{- 1 / 2}

$\gamma' = (1 - v'^2/c^2)^{-1/2}$ .

Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit

Verrückt werden

Antworten (1)

Achmeteli

Verrückt werden

Verrückt werden

Achmeteli

Pulsar

Berechnen Sie den relativistischen Schub für den COM-Rahmen aus zwei beliebigen Geschwindigkeiten?

Ableitung der relativistischen Geschwindigkeitsadditionsformel

Leiten Sie die Geschwindigkeitsadditionsformel aus der Lorentz-Transformation ab

Ich kann mein Verständnis der Längenkontraktion nicht mit der Lorentz-Transformation in Einklang bringen

Relative Geschwindigkeitsaddition

Relativistische Transformation von c2/vc2/vc^2/v

Warum erzeugt die relativistische Geschwindigkeitssubtraktion eine größere Relativgeschwindigkeit als klassisch?

Geschwindigkeitsaddition für Tachyonen

Zweidimensionales Lorentz-Geschwindigkeitstransformationsproblem

Beweisen Sie y=y′,z=z′y=y′,z=z′y=y′,z=z′ in der Lorentz-Transformation