Ableitung der relativistischen Geschwindigkeitsadditionsformel

Question

Ableitung der relativistischen Geschwindigkeitsadditionsformel

Sha Vuklia

Ich bin mit mehreren Möglichkeiten zur Ableitung der relativistischen Geschwindigkeitsadditionsformel vertraut. Ich interessiere mich jedoch für den folgenden Beweis, indem ich die Ableitung bilde $V_x'=\frac{dx'}{dt'}$ .

Was mein Lehrbuch tut, ist Folgendes;

$x'=\gamma(x-\beta ct) \\ \frac{dt}{dt'}=\gamma + \frac{\beta \gamma}{c}V_x'$

Also bekommen wir:

$\frac{dx'}{dt'}=\frac{d}{dt}\left(\gamma(x-\beta ct)\right)\frac{dt}{dt'}=\frac{d}{dt}\left(\gamma(x-\beta ct)\right)(\gamma + \frac{\beta \gamma}{c}V_x')$ .

Und dann sagen sie einfach, wir bekommen $V_x'=\frac{V_x-\beta c}{1-\frac{\beta}{c}V_x}$ . Ich verstehe diesen letzten Schritt nicht. Ich habe verschiedene Dinge ausprobiert, wie das Aufschreiben $\gamma$ oder Dinge vereinfachen ... aber ich bekomme ihr Ergebnis nicht. Könnte mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus.

Saitentheoretiker

Das gesuchte Konzept ist die Schnelligkeit, en.wikipedia.org/wiki/Rapidity Dies beschreibt die schnelle Änderung von Geschwindigkeiten über Winkel im (für uns unvorstellbaren) 4-dimensionalen Raum. Damit kann man die Additionsformel ableiten (was übrigens FALSCH ist!).

JMLCarter

Was ist deine Lorentz-Erweiterung?

γ^{2} = \frac{1}{(1 - V_{x}^{2} / c^{2})}

$\gamma^2=\frac{1}{(1-V_x^2/c^2)}$

Sha Vuklia

Es ist

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{β^{2}}{c^{2}}}}

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\beta^2}{c^2}}}$

Benutzer130529

In der Gleichung erhält man nach Ableitung bzgl

t

$t$ , haben Sie versucht zu lösen

V_{x}^{'}

$V_x'$ die auf beiden Seiten erscheint?

Sha Vuklia

Ich habe es auf jeden Fall versucht, aber ich bekomme dieses riesige Durcheinander im Nenner, wo ich nichts ausrechnen kann. Gibt es eine clevere Lösung?

Benutzer130529

Hinweise: Ihr Lorentzfaktor ist falsch; mit Ihrer Notation sollte es sein

1 / \sqrt{1 - β^{2}}

$1/\sqrt{1-\beta^2}$ (abgeleitet von deiner

x^{'} = γ (x - β c t)

$x'=\gamma(x-\beta ct)$ , somit

v = β c

$v=\beta c$ Und

v^{2} / c^{2} = β^{2}

$v^2/c^2=\beta^2$ ). Dann benutze

1 + γ^{2} β^{2} = γ^{2}

$1+\gamma^2\beta^2=\gamma^2$ in den Schritten, die ich in meinem vorherigen Kommentar erwähnt habe, und Sie sind fertig.

Antworten (2)

Ableitung der relativistischen Geschwindigkeitsadditionsformel

Das gesuchte Konzept ist die Schnelligkeit, en.wikipedia.org/wiki/Rapidity Dies beschreibt die schnelle Änderung von Geschwindigkeiten über Winkel im (für uns unvorstellbaren) 4-dimensionalen Raum. Damit kann man die Additionsformel ableiten (was übrigens FALSCH ist!).
Was ist deine Lorentz-Erweiterung? $\gamma^2=\frac{1}{(1-V_x^2/c^2)}$
In der Gleichung erhält man nach Ableitung bzgl $t$ , haben Sie versucht zu lösen $V_x'$ die auf beiden Seiten erscheint?
Ich habe es auf jeden Fall versucht, aber ich bekomme dieses riesige Durcheinander im Nenner, wo ich nichts ausrechnen kann. Gibt es eine clevere Lösung?
Hinweise: Ihr Lorentzfaktor ist falsch; mit Ihrer Notation sollte es sein $1/\sqrt{1-\beta^2}$ (abgeleitet von deiner $x'=\gamma(x-\beta ct)$ , somit $v=\beta c$ Und $v^2/c^2=\beta^2$ ). Dann benutze $1+\gamma^2\beta^2=\gamma^2$ in den Schritten, die ich in meinem vorherigen Kommentar erwähnt habe, und Sie sind fertig.

Graf Iblis · Answer 1

Es geht nur darum, die Algebra richtig zu machen. Wir können einen Faktor herausnehmen $\gamma$ aus beiden Faktoren im Ausdruck:

{v_{X}}^{'} = \frac{D}{D T} (γ (X - β C T)) (γ + \frac{β γ}{C} {v_{X}}^{'})

${V_{x}}'=\frac{d}{dt}\left(\gamma(x-\beta ct)\right)\left(\gamma + \frac{\beta \gamma}{c}{V_x}'\right)$

weil es unter Differentiation bzgl. konstant ist $t$ . Dies ergibt:

{v_{X}}^{'} = \frac{1}{1 - β^{2}} \frac{D}{D T} (X - β C T) (1 + \frac{β}{C} {v_{X}}^{'})

${V_{x}}'=\frac{1}{1-\beta^2}\frac{d}{dt}\left(x-\beta ct\right)\left(1 + \frac{\beta }{c}{V_x}'\right)$

Die Ableitung kann ausgewertet werden:

{v_{X}}^{'} = \frac{1}{1 - β^{2}} (v_{X} - β C) (1 + \frac{β}{C} {v_{X}}^{'})

${V_{x}}'=\frac{1}{1-\beta^2}\left(V_x-\beta c\right)\left(1 + \frac{\beta }{c}{V_x}'\right)$

Alles, was wir tun müssen, ist diese Gleichung zu lösen ${V_{x}}'$ . Wenn Sie mit großen Gleichungen arbeiten, müssen Sie vorsichtig sein, um Fehler zu vermeiden. Der beste Weg ist, sich auf die relevanten Teile der Gleichung zu konzentrieren, anstatt zu versuchen, alles auf einmal zu erledigen. Also, wenn wir alle sammeln wollen ${V_{x}}'$ konzentriere dich dann einfach darauf, genau das zu tun. Auf der linken Seite ${V_{x}}'$ ist mit einem Koeffizienten von vorhanden $1$ , auf der rechten Seite hat es einen Koeffizienten von:

A = \frac{1}{1 - β^{2}} (v_{X} - β C) \frac{β}{C}

$A = \frac{1}{1-\beta^2}\left(V_x-\beta c\right)\frac{\beta }{c}$

Also, wenn wir alle mitbringen ${V_{x}}'$ nach links, erhält es einen Koeffizienten von $1 - A$ . Der Restterm auf der rechten Seite lautet:

B = \frac{1}{1 - β^{2}} (v_{X} - β C)

$B = \frac{1}{1-\beta^2}\left(V_x-\beta c\right)$

Mal sehen, ob wir vereinfachen können $1 - A$ :

1 - A = \frac{1}{1 - β^{2}} (1 - β^{2} - v_{X} \frac{β}{C} + β^{2}) = \frac{1}{1 - β^{2}} (1 - v_{X} \frac{β}{C})

$1-A = \frac{1}{1-\beta^2}\left(1-\beta^2 -V_x\frac{\beta}{c}+\beta^2\right) = \frac{1}{1-\beta^2}\left(1-V_x\frac{\beta}{c}\right)$

Teilen Sie beide Seiten durch $1-A$ Erträge:

{v_{X}}^{'} = \frac{v_{X} - β C}{1 - \frac{β}{C} v_{X}}

${V_{x}}'= \frac{V_x-\beta c}{1-\frac{\beta}{c} V_x}$

Ohhh, jetzt sehe ich meinen Fehler! Ich drehte mich nicht um $1$ hinein $\frac{1-\beta^2}{1-\beta^2}$ , auszuklammern $\gamma^2$ - was zur Lösung führt! Vielen, vielen Dank!

Benutzer130529 · Answer 2

Es scheint, dass Ihr Lehrbuch einen komplizierten Weg einschlägt. Es gibt einen kürzeren Weg, den ich sehr bevorzuge:

\frac{D X^{'}}{D T^{'}} = \frac{D (γ (X - v T))}{D (γ (T - v X / C^{2}))} = \frac{D X - v D T}{D T - v D X / C^{2}} = \frac{D X / D T - v}{1 - v (D X / D T) / C^{2}}

$\frac{dx'}{dt'}=\frac{d(\gamma(x-vt))}{d(\gamma(t-vx/c^2))}=\frac{dx-vdt}{dt-vdx/c^2}=\frac{dx/dt-v}{1-v(dx/dt)/c^2}$ Wo

v = β c

$v = \beta c$ .

EDIT: Ihre Lehrbuchmethode funktioniert auch. Aber Ihr Lorentz-Faktor, den Sie in Ihrem Kommentar erwähnt haben, ist falsch; mit Ihrer Notation sollte es sein $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ (abgeleitet von deiner $x'=\gamma(x-\beta ct)$ , somit $v=\beta c$ Und $v^2/c^2=\beta^2$ ). Dann benutze $1+\gamma^2\beta^2=\gamma^2$ in den Schritten, die ich in meinem vorherigen Kommentar erwähnt habe (berechnen Sie die Ableitung bzgl $t$ und löse nach $V′x$ die linear auf beiden Seiten erscheint) und Sie sind fertig.

Ich habe bereits gesagt, dass ich mit mehreren Beweisen vertraut bin und mich speziell für den Beweis aus meinem Lehrbuch interessiere. Ich mag diesen Beweis nicht, weil es lausige Mathematik ist, weil $\frac{d}{dt'}$ ist ein Operator - oder wie auch immer Sie es nennen wollen - und kein Bruch.

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