Berechnen Sie den relativistischen Schub für den COM-Rahmen aus zwei beliebigen Geschwindigkeiten?

Der 4-Impuls des Massenzentrums ist die Summe der 4-Impulse der Teilchen (kein Vektorsymbol oder Index, aber die v sind Vierkomponentenvektoren), wobei die Massen als Gewichte verwendet werden:

$$P_\mathrm{CM} = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

Die Länge davon ist die Masse des kombinierten Systems (meistens minus metrisch)

$$M^2 = |P|^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2m_1 m_2 v_1 \cdot v_2$$

Die vierfache Schwerpunktsgeschwindigkeit ist dann

$$v_\mathrm{CM} = {m_1v_1 + m_2 v_2 \over M}$$

und die Dreiergeschwindigkeit ist gegeben durch das Verhältnis der Raumkomponenten des Vierervektors zur Zeitkomponente:

$$v^0_\mathrm{CM} = {m_1\gamma_1 + m_2 \gamma_2 \over M}$$

Damit ist die Schwerpunktgeschwindigkeit:

$$\vec{v}_\mathrm{CM} = {m_1\gamma_1 \vec{v}_1 + m_2\gamma_2 \vec{v}_2 \over m_1\gamma_1 + m_2\gamma_2}$$

oder der gewichtete Durchschnitt der Geschwindigkeiten unter Verwendung der relativistischen Masse (der Energie). Diese Formel erscheint normalerweise mit Energiebuchstaben, die Massenbuchstaben ersetzen:

$$\vec{v}_\mathrm{CM} = { E_1 \vec{v}_1 + E_2 \vec{v}_2 \over E_1 + E_2}$$

Wobei m_1 und m_2 die Massen sind,$v_1$Und$v_2$sind die 4-Geschwindigkeiten,$E_1$Und$E_2$sind die Energien,$\gamma_1 = {1\over \sqrt{1-|\vec v_1|^2}}$und ähnlich für$\gamma_2$.

So einfach, nicht wahr? Sie berechnen einfach den Gesamtimpuls ($m_1v_1 + m_2v_2$). Die Geschwindigkeit des COM-Rahmens ist dann einfach dieser Impuls dividiert durch die Gesamtmasse, dh

$$v_{com} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$$

Ich suchte nach einer Antwort darauf mit nur Bildgeschwindigkeiten, ohne Partikel. Folgendes habe ich versucht:

Lassen$v_1$Und$v_2$seien die Geschwindigkeiten zweier Rahmen, die sich entlang der bewegen$x$-Achse relativ zum Laborrahmen$F$. Ein weiterer Rahmen$F'$bewegt sich ähnlich mit der Geschwindigkeit$u$, und es sieht die vorherigen Geschwindigkeiten als

$$v_1' = \frac{v_1-u}{1-v_1u} \quad\text{and}\quad v_2' = \frac{v_2-u}{1-v_2u}.$$ in Einheiten wo $c=1$. Definiere die Geschwindigkeit $u$der Fall sein, wo $F'$sieht, wie sich jeder Frame mit der gleichen Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen bewegt : $$\begin{align} v_1' &= -v_2' \\ \frac{v_1-u}{1-v_1u} &= -\frac{v_2-u}{1-v_2u} \end{align}$$ Dies führt auf die quadratische Gleichung $$u^2(v_1+v_2) - 2u(1+v_1v_2) + (v_1+v_2) = 0$$ mit Lösungen $$u_\pm = \frac{(1+v_1v_2)\pm\sqrt{(1-v_1^2)(1-v_2^2)}}{(v_1+v_2)}$$ Behandlung der Terme 2. Ordnung $v_1^2$Und $v_2^2$als Kleinstmengen und unter Vernachlässigung der 4. Ordnung $v_1^2v_2^2$, die Annäherung an die negative Lösung $u_-$gibt den Durchschnitt an $$u \approx \frac{v_1+v_2}{2}.$$ Sie können das überprüfen $u_+$ist nur das Gegenteil, so dass $u_+ u_- = 1$. So $$\boxed{u = \frac{(c^2+v_1v_2) - \sqrt{(c^2-v_1^2)(c^2-v_2^2)}}{(v_1+v_2)}.}$$ in regulären Einheiten.