Finden Sie die COM-Geschwindigkeit in Bezug auf den Laborreferenzrahmen

Ich versuche, die folgende Hausaufgabe zu lösen.

Angenommen, wir haben im Labor-Referenzrahmen$2$Partikel. Partikel "$a$„ruht mit voller Energie$E_a$, während Partikel "$b$„geht mit voller Energie davon$E_2$. Wenn Partikel$b$hat Schwung$\vec{p}$, zeigen, dass sich das Bezugssystem, in dem der Schwerpunkt statisch ist, in Richtung bewegt$\vec{p}$mit Geschwindigkeit

$$u = \frac{c^2 p}{E_a + E_b}$$ in Bezug auf das Labor. Zeigen Sie auch, dass der Gesamtimpuls des Systems ist$0$im COM-Referenzrahmen.

Mein Versuch, dieses Problem zu lösen, war wie folgt. Ich habe versucht, das Teilchen auf dem Ursprung in Ruhe zu platzieren und danach die Geschwindigkeit zu finden, mit der sich der Schwerpunkt im Laborbezugssystem vom Ursprung wegbewegt, was der gewünschten Geschwindigkeit entsprechen würde.

Da Teilchen$a$im Laborbezugssystem ruht, das wissen wir

$$E_a = m_ac^2$$ und ähnlich, da teilbar$b$sich bewegt (sagen wir, mit Geschwindigkeit$\vec{v}$), Wir wissen das

$$\begin{align*} E_b &= \gamma m_b c^2\\ p &= \gamma m_b v \end{align*}$$ mit$\gamma^{-1} = \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}$. Nun wissen wir per Definition, dass die Position des Schwerpunkts (entlang der Richtung von$\vec{p}$) wird sein $$\begin{align*} R = \frac{1}{m_a + m_b}\left(m_a(0) + m_b (vt)\right) \end{align*}$$ was das bedeuten würde $$\begin{align*} u = \frac{R}{t} = \frac{1}{m_a + m_b}m_bv = \frac{1}{\frac{E_a}{c^2} + \frac{E_b}{\gamma c^2}}\frac{p}{\gamma}= \frac{c^2 p}{\gamma E_a + E_b} \end{align*}$$ Und das ist fast die Gleichung, die ich will, aber nicht ganz. Ich bin mir nicht sicher, wo der Fehler in meiner Argumentation liegt, kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? Oder gibt es alternativ eine bessere Möglichkeit, dieses Problem zu lösen? Vielen Dank!