Problem bei der Verwendung der Zeitdilatationsformel

Achtung, zwei Ereignisse, die in einem Frame gleichzeitig stattfinden, sind in einem anderen nicht mehr gleichzeitig!

Die Berechnungen, die Sie im A-Frame durchgeführt haben, sind korrekt, ich möchte nur die Tatsache betonen, dass die Zeit, die Sie erhalten haben, keine absolute Zeit ist, sondern ein Zeitintervall in Bezug auf den Ursprung$t = 0$dh$(t-0) = 7L$.

Gehen wir nun zum Frame B (eine Variable mit dem Primzahlindex ' ist eine Variable im B-Frame). In diesem Rahmen haben wir den Zug 1 in Ruhe und den Zug 2, der sich mit Geschwindigkeit bewegt (ich schreibe alles in der Einheit c)

$$v'_2 = \frac{v_2-v_1}{1-v_2v_1}=\frac{5}{13}$$ jetzt lass uns anrufen $x_1$der Vorlauf des Zuges 1 und $x_2$hinten im Zug 2. Zur Zeit $t =0$in A sind sie jeweils $x_1 = \frac{L}{\gamma_1}$ $x_2 = - \frac{L}{\gamma_2}$Wo $$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1-v_1^2}} = \frac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1-v_2^2}} = \frac{5}{3}$$ Lassen Sie uns nun eine Lorentz-Transformation durchführen (Boost with speed $v_1$in positiver x-Richtung), um in Frame B, dem Ereignis, zu gehen $t = 0 \ x_1 = \frac{L}{\gamma_1}$das wird $$t'_0 = \gamma_1(0-v_1x_1) = -\frac{3}{5}L \ \ \ \ \ \ \ \ x'_1 = \gamma_1(x_1-v_1*(0)) = L$$ Das $t'_0$ist nun unser neuer "Ursprung" in dem Sinne, dass wir das Zeitintervall der Form berechnen werden $(t'-t'_0)$.

Jetzt führen wir dieselbe Lorentz-Transformation für das Ereignis durch$t = 0 \ \ x_2 = -\frac{L}{\gamma_2}$das wird

$$t'_2 = \gamma_1(0-v_1x_2) = +\frac{\gamma_1}{\gamma_2}v_1L = \frac{9}{20}L \ \ \ \ \ \ \ \ x'_2 = \gamma_1(x_2-v_1*(0)) = -\frac{\gamma_1}{\gamma_2}L = -\frac{3}{4}L$$ Das ist wieder eine andere Zeit. Jetzt kann ich die Bahn der Rückseite von Zug 2 in B-Frame schreiben, das heißt $$x'_2(t') = x'_2(t'_2) + v'_2(t'-t'_2)$$ Der Zug 2 wird den Zug 1 überholen, wenn $x'_2(t') = x'_1(t') = L$denn der Vorlauf des Zuges 1 ruht im Punkt $x'_1 = L$im B-Rahmen; Deshalb $$x'_2(t'_2) + v'_2(t'-t'_2) = L \Rightarrow (t'-t'_2) = \frac{91}{20}L$$

Nun erinnern wir uns daran, dass der „Ursprung“ der Zeit in B sistem liegt$t'_1$daher ist das gesuchte Zeitintervall

$$(t'-t'_1) = (t'-t'_2) + t'_2 - t'_1 =\Big[\frac{91}{20}+\frac{9}{20}+\frac{3}{4}\Big]L = \frac{28}{5}L$$ Um nun das Zeitintervall zu finden $t -0$im rahmen A (den wir schon ganz am anfang gefunden haben) führen wir die $\color{red}{inverse}$Lorentz-Transformation $$t-0 = \gamma_1[(t'-t'_1) \color{red}+v_1(x'_1(t') - x'_1(t'_1))]$$ aber da im B-Bild der Zug 1 in Ruhe ist, haben wir $x'_1(t') = x'_1(t'_1) = L$und schließlich bekommen wir das $$t-0 = \gamma_1(t'-t'_1) = \frac{5}{4}\frac{28}{5}L = 7L$$

Sie können verstehen, dass Sie diesen Wert erhalten müssen$t'-t'_1 = \frac{28}{5}L$aus dieser einfachen Rechnung:

in Frame A bewegt sich der Zug 1 mit Geschwindigkeit$v_1 = \frac{3}{5}$und rechtzeitig$t-0 = 7L$sein Vorwärts fährt ab$x_1(0) = \frac{L}{\gamma_1} = \frac{4}{5}L$Zu$x_1(t) = x_1(0) +v_1(t-0) = 5L$.

Jetzt können wir das äquivalente Zeitintervall im Rahmen B berechnen, indem wir eine Lorentz-Transformation durchführen

$$\Delta t' = \gamma_1[(t-0) - v_1(x_1(t)-x_1(0)] = \frac{28}{5}L$$

Der Fehler ist die unangemessene Verwendung der Zeitdilatationsformel im letzten Schritt. Das einzige Konzept, das Sie vermisst haben, war die Formel, mit der Sie das Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen ermittelt haben$A$gilt, wenn die Ereignisse am gleichen Ort stattfinden$B$. Die Überholzeit ist das Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen, die nicht am selben Ort sind$B$. So finden Sie das Zeitintervall zwischen ihnen in$A$, sollten wir die vollständige Lorentz-Transformationsformel verwenden, dh

$t_A = \dfrac{t_B - vx_B}{\sqrt{1-v^2}}$

In Anbetracht Ihres konzeptionell sauberen Ansatzes im Rest der Beschreibung bin ich sicher, dass Sie die Details ausarbeiten werden.