Warum erzeugt die relativistische Geschwindigkeitssubtraktion eine größere Relativgeschwindigkeit als klassisch?

Wenn sich beide in die gleiche Richtung bewegen, teilen Sie das klassische Ergebnis durch eine Zahl kleiner als eins:$1-v_1v_2/c^2$, daher wird das Ergebnis immer größer als das klassische sein. Wenn sie sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen, ändert sich das Vorzeichen und Sie dividieren durch eine Zahl, die größer als eins ist, und erhalten somit ein kleineres Ergebnis als das klassische.

Beide Ergebnisse sind intuitiv. Stellen Sie sich vor, dass sich beide in der Nähe von c in die gleiche Richtung bewegen. Normalerweise ist der Unterschied zu Ihnen sehr gering (sagen wir 0,00000001 c), aber sie könnten sich relativ zueinander mit einer Geschwindigkeit nahe c bewegen. Wenn sie sich stattdessen mit Geschwindigkeiten nahe c in entgegengesetzte Richtungen bewegen, liegt das klassische Ergebnis näher bei 2c, aber sie können sich nicht mit einer Geschwindigkeit größer als c bewegen sehen, sodass das Ergebnis geringer als das klassische ist.

Meine Vermutung ist nur, dass das Problem in Bezug auf die Probleme, die Sie gesehen haben, umgekehrt ist, wobei die Probleme, die Sie gesehen haben, so aussehen:

„Alice sieht, wie sich Bob mit Geschwindigkeit bewegt$u~\hat x$und Bob sieht, wie Carol sich mit Geschwindigkeit bewegt$v~\hat x$, wie schnell sieht Alice Carol sich bewegen?“

Die Antwort hier ist, die Weltlinie in Bobs Bezugssystem zu konstruieren,$\text{Carol}=\{(ct, vt)_{\text{Bob}}, \text{ for all } t\}$, dann boosten Sie es durch Velocity$-u\hat x$in Alices Bezugsrahmen und nimm das Verhältnis der Raum- und Zeitkomponenten (weil die Weltlinie immer noch durchgeht$(0,0)$), nachgeben

$$v_{\text{Alice}}= c~\frac{\gamma_u~(vt+\beta_uct)}{\gamma_u~(ct+\beta_uvt)}=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.$$

Doch nun stehen Sie stattdessen vor dem Problem,

„Alice sieht, wie sich Bob mit Geschwindigkeit bewegt$u~\hat x$und Carol bewegen sich mit Geschwindigkeit$v~\hat x$, wie schnell sieht Bob, wie sich Carol bewegt?“

Die Lösung dieses Problems ist identisch, da Bob in dem früheren Problem auch sah, wie sich Alice mit Geschwindigkeit bewegte$-u\hat x,$Sie haben also eine vollständige Beschreibung der früheren Berechnung in genau diesem Format, nur die Namen sind unterschiedlich. Wenn Sie die Ableitung noch einmal durchgehen, werden Sie feststellen, dass der einzige Unterschied darin besteht, dass Sie durch die Geschwindigkeit ankurbeln$+u\hat x$daher die Anmeldung$u$hat sich geändert, um dir zu geben,

$$v_{\text{Bob}}= c~\frac{\gamma_u~(vt-\beta_uct)}{\gamma_u~(ct-\beta_uvt)}=\frac{v-u}{1-uv/c^2}.$$

Sobald Sie das verstanden haben, ist es nicht allzu schwer zu erkennen, dass, wenn die eine Geschwindigkeit (Carol von Alice gesehen) langsamer ist (als Carol von Bob gesehen) und die Richtungen gleich bleiben, die andere Geschwindigkeit (Carol von Bob gesehen) muss größer sein (als Carol von Alice gesehen). Es sind nur die gleichen Zahlen, die auf zwei verschiedene Arten gesehen werden.

Ich verstehe nicht, wie Sie .25c mit Velocity-Addition bekommen könnten. Das haben Sie eindeutig erhalten, indem Sie 0,5 von 0,75 subtrahiert haben . Wir haben, dass .4c "plus".5c .75c ist, was weniger ist als das, was wir mit klassischer Addition erhalten würden. Wenn relativistische Addition von$v_1$Und$v_2$gibt$v_3$, Und$v_3$ist weniger als$v_1+v_2$, dann eindeutig relativistische Subtraktion von$v_2$aus$v_3$muss etwas mehr als geben$v_3-v_2$. Hoffentlich ist das einigermaßen intuitiv: Subtraktion ist das Gegenteil von Addition, also ist der Effekt entgegengesetzt. Wenn wir eine Geschwindigkeit addieren und sie dann subtrahieren, sollten wir am Ende die Geschwindigkeit haben, mit der wir begonnen haben. Aber wenn sowohl die Addition als auch die Subtraktion die Geschwindigkeiten kleiner machen, dann würden wir am Ende eine Geschwindigkeit haben, die kleiner ist als die, mit der wir begonnen haben (zum Beispiel, wenn wir addieren$v$Zu$u$, haben wir am Ende etwas weniger als$u+v$. Wenn wir dann subtrahieren$v$daraus würden wir nach Ihrer Denkweise etwas Kleineres erhalten (etwas Kleineres als u + v) - v, das kleiner als u wäre). Wenn$add(u+v)<u+v$für alle$u$,$v$, Dann$subtract(u,v)$muss größer sein als$u-v$. Das liegt daran, dass per Definition$add(v+subtract(u,v))$ist gleich$u$(Wenn Sie eine Zahl subtrahieren und dann wieder addieren, erhalten Sie am Ende die Zahl, mit der Sie begonnen haben), also wenn wir haben$add(v+subtract(u,v))<v+subtract(u,v)$, dann können wir ersetzen$u$für$add(v+subtract(u,v))$und bekomme$u<v+subtract(u,v)$, oder$u-v<subtract(u,v)$, oder$subtract(u,v)>u-v$.

Wenn Sie also zwei Geschwindigkeiten addieren, erhalten Sie eine Zahl, die kleiner ist als die klassische Summe, und wenn Sie zwei Geschwindigkeiten subtrahieren, erhalten Sie eine Zahl, die größer ist als die klassische Differenz. Eine Sache, mit der Sie es vergleichen können, ist das Hinzufügen von Volumen und dem resultierenden Radius: Wenn Sie zwei Kugeln haben und eine Kugel mit dem Volumen der Summe ihrer Volumen haben möchten, ist der Radius kleiner als die Summe der Radien. Wenn Sie eine Kugel mit dem Volumen der Volumenunterschiede wollen, ist der Radius größer als der Unterschied der Radien.

Ich glaube nicht, dass Sie die Überprüfung der Mathematik verlangen, sondern warum die Antwort sinnvoll ist.

Denken Sie an die beiden Grenzfälle. Zuerst das Einfache: Sie haben zwei Taschenlampen, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Ausgehend vom Referenzrahmen eines Photons von Taschenlampe A bewegen sich Photonen in Taschenlampe B mit Lichtgeschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung, obwohl das klassische Ergebnis wäre, dass sie sich bei 2c voneinander fortbewegen.

Hier führt also relativistisches Reisen in entgegengesetzte Richtungen zu Geschwindigkeiten, die kleiner als das klassische Ergebnis sind.

Was Sie kontraintuitiv finden, ist dieses Gedankenexperiment: Sie sitzen in einem Zug, der 0,999 c fährt. Super schnell. Dann schaltet man eine Taschenlampe ein und richtet sie nach vorne. Aus Ihrem Referenzrahmen WISSEN Sie, dass sich diese Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen müssen, aber dass das klassische Ergebnis 0,001c wäre.

In diesem Beispiel führt eine relativistische Bewegung in die gleiche Richtung zu Geschwindigkeiten, die größer sind als das klassische Ergebnis.

Die Relativitätstheorie ist nicht intuitiv, wir müssen unsere Intuition an ihre Ergebnisse anpassen. Und einfache Bauchcheck-Szenarien wie die beiden, die ich oben skizziert habe, können bei der Intuition helfen.

Lassen Sie ein Teilchen$\; a\;$sich gleichmäßig mit der Geschwindigkeit bewegen$\;\mathbf{v}\;$in Bezug auf ein Inertialsystem$\;\mathrm S$. Ein zweites Teilchen$\;b\;$bewegt sich gleichmäßig mit der Geschwindigkeit$\;\mathbf{u}\;$in Bezug auf Teilchen$\;a$. Ein Inertialsystem$\;\mathrm S_a\;$ist an Teilchen gebunden$\;a\;$in der Standardkonfiguration zum Inertialsystem$\;\mathrm S$. Um die Geschwindigkeit zu finden$\;\mathbf{w}\;$von Teilchen$\;b\;$bezüglich des Inertialsystems$\;\mathrm S\;$wir müssen die beiden Vektoren addieren$\;\mathbf{v},\mathbf{u}\;$zusätzlich nicht-relativistisch oder relativistisch.

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A. Die nicht-relativistische Addition$\;\mathbf{w}_{_{\rm NR}}$

Wie in Abbildung-01 gezeigt, haben wir

$$\begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm NR}}\boldsymbol{=}\left(\mathrm u\cos\phi\boldsymbol{+}\mathrm v \right)\mathbf{i}\boldsymbol{+}\left(\mathrm u\sin\phi\right)\mathbf{j} \tag{NR-01}\label{NR-01} \end{equation}$$ So $$\begin{align} \mathrm w_{_{\rm NR}}^2 & \boldsymbol{=}\mathrm u^2\boldsymbol{+}\mathrm v^2\boldsymbol{+}2\,\mathrm u\,\mathrm v \cos\!\phi\vphantom{\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi+\mathrm v}} \tag{NR-02.1}\label{NR-02.1}\\ \tan\!\theta_{_{\rm NR}} & \boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi\boldsymbol{+}\mathrm v} \tag{NR-02.2}\label{NR-02.2} \end{align}$$

Vektor beibehalten$\;\mathbf{v}\;$und die Größenordnung$\;\mathrm u = \Vert\mathbf{u}\Vert\;$Konstante der Rand von$\;\mathbf{w}_{_{\rm NR}}\;$bewegt sich auf einem vollen Kreis als der Winkel$\;\phi\;$wechselt ein$\;\left[0,2\pi\right]$.

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B. Die relativistische Addition$\;\mathbf{w}_{_{\rm R}}$

In diesem Fall haben wir

$$\begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm v}\boldsymbol{-}1\right)\left(\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}}{\mathrm v^2}\right)\mathbf{v}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm v}\mathbf{v}}{\gamma_{\mathrm v}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}}{c^2}\right)}\,,\qquad \gamma_{\mathrm v}\boldsymbol{=}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm v^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-\frac12}} \tag{R-01}\label{R-01} \end{equation}$$ Von Abbildung-02 $$\begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\left(\mathrm u\cos\phi\boldsymbol{+}\mathrm v \right)\mathbf{i}\boldsymbol{+}\left(\sqrt{1\boldsymbol{-}(\mathrm v/c)^2}\,\mathrm u\sin\phi\right)\mathbf{j}\vphantom{\dfrac12}}{\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathrm{u}\,\mathrm{v}}{c^2}\cos\phi\right)} \tag{R-02}\label{R-02} \end{equation}$$ So $$\begin{align} \left(\dfrac{\rm w_{_{\rm R}}}{c}\right)^{\!2}& \boldsymbol{=}1\!-\!\dfrac{\left[1\!-\!\left(\dfrac{\rm u}{c}\right)^{\!2}\right]\left[1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}\right]}{\left(1+\dfrac{\rm u v}{c^2}\cos\phi\right)^{\!2}} \tag{R-03.1}\label{R-03.1}\\ \tan\!\theta_{_{\rm R}}& \boldsymbol{=}\sqrt{1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}}\,\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi+\mathrm v}=\sqrt{1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}}\,\tan\!\theta_{_{\rm NR}} \tag{R-03.2}\label{R-03.2} \end{align}$$

Vektor beibehalten$\;\mathbf{v}\;$und die Größenordnung$\;\mathrm u = \Vert\mathbf{u}\Vert\;$Konstante der Rand von$\;\mathbf{w}_{_{\rm R}}\;$bewegt sich auf einer geschlossenen Ellipsen-ähnlichen Kurve als Winkel$\;\phi\;$wechselt ein$\;\left[0,2\pi\right]$.

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Beachte das aus der Gleichung$\eqref{R-03.1}$wir haben die bekannten ergebnisse wann$\;\mathbf{u},\mathbf{v}\;$sind kollinear

$$\begin{align} \phi & \boldsymbol{=}0 \quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \cos\phi \boldsymbol{=+}1\quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \rm w_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm u \boldsymbol{+}\mathrm v }{1\boldsymbol{+}\dfrac{\rm u v}{c^2}} \tag{R-04.1}\label{R-04.1}\\ \phi & \boldsymbol{=}\pi \quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \cos\phi \boldsymbol{=-}1\quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \rm w_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v \vert}{1\boldsymbol{-}\dfrac{\rm u v}{c^2}}>\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v \vert \tag{R-04.2}\label{R-04.2} \end{align}$$

Aus$\eqref{R-04.2}$schließen wir das für$\;\phi=\pi\;$die Größenordnung$\;\rm w_{_{\rm R}}\;$der resultierenden relativistischen Summe größer ist als der Betrag der nicht-relativistischen Summe$\;\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v\vert\;$für alle Werte von
$\;\rm u,v\;$weniger als$\;c$.