Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Inertialsystemen

Angenommen, zwei Inertialsysteme K Und K ' durch eine beliebige Lorentz-Transformation in Beziehung stehen Λ , was ist der beste Weg, um die relative Geschwindigkeit zwischen den beiden Referenzrahmen zu berechnen?

Eine Idee wäre, sich zu zersetzen Λ in das Produkt Λ = R ( θ ) Λ X ( ψ ) R ( φ ) und extrahieren Sie die relative Geschwindigkeit aus der Boost-Transformation Λ X ( ψ ) . Aber für eine allgemeine Lorentz-Transformation würde diese Zerlegung meiner Meinung nach ziemlich lange dauern, und es gibt wahrscheinlich eine viel schnellere Methode. In meiner Klasse für spezielle Relativitätstheorie haben wir die relativistische Geschwindigkeitsaddition nur für Referenzrahmen gelernt, die in speziellen Konfigurationen waren, so dass sie durch einen Lorentz-Boost entlang einer einzigen Raumrichtung in Beziehung standen. Wie lässt sich das verallgemeinern?

Antworten (1)

Eine allgemeine Lorentz-Transformation Λ kann geschrieben werden als

Λ = R B

Wo R ist eine Drehung und B ist ein Schub. Somit wird die Matrixtransposition mit einem hochgestellten Zeichen bezeichnet T ,

Λ T Λ = B 2

seit R T R = ICH Und B T = B . Aber dann B hat die allgemeine Form

B = ( cosch ⁡ φ − u T Sünde ⁡ φ − u Sünde ⁡ φ u u T cosch ⁡ φ + ICH − u u T )

Wo u ist ein Einheits-3-Vektor, der die Richtung des Boosts angibt und φ ist die sogenannte Schnelligkeit. So

B 2 = ( 1 − u T Sünde ⁡ 2 φ − u Sünde ⁡ 2 φ ⋯ ) .

Wie Sie sehen können, können Sie lesen u Und φ durch Inspektion von B 2 und dann ist die gesuchte Geschwindigkeit gerecht

v = u Tanh ⁡ φ .

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