Wie kann man die nicht-assoziative Zusammensetzung von Geschwindigkeiten in STR verstehen?

Sind Lorentz-Transformationen angemessenere Bewegungsdarstellungen als die intuitiveren Geschwindigkeiten?

Ja. Die Nicht-Assoziativität, die Sie stört, entsteht einfach, weil es keine Gruppe von dreidimensionalen Boosts gibt . Auf eine Dimension beschränkt, bilden Boosts eine ziemlich schöne Untergruppe mit einem Parameter der Lorentz-Gruppe$SO^+(1,3)$. Also "funktioniert" alles, insbesondere die Assoziativität. Diese Ein-Parameter-Gruppe ist sogar kommutativ, wie alle Ein-Parameter-Lie-Gruppen.

Wenn Sie versuchen, diese Eleganz in drei räumliche Dimensionen zu übertragen, funktioniert das nicht. Zwei Boosts setzen sich im Allgemeinen zu einem Boost und einer Rotation zusammen. Entscheidend ist hier die „Thomas-Präzession“: Das ist die Rotation, die bei der polaren Zerlegung eines Lorentz-Gruppenmitglieds generell vorhanden sein muss .

Wenn Sie Ihr System um Rotationen erweitern, erhalten Sie die gesamte Gruppe$SO^+(1,3)$und damit die Assoziativität wiederherstellen.

Bedeutet das, dass es keine eindeutige Geschwindigkeit zwischen gibt$S_1$Und$S_4$?

So'ne Art. Sie brauchen einen Boost und eine Rotation, um die Transformation dazwischen darzustellen$S_1$Und$S_4$und außerdem ist die Verstärkung der polaren Zerlegung unterschiedlich, je nachdem, ob Sie letztere schreiben als:

oder ob du es so schreibst:

Wo$B(v)$ist der Boost mit Geschwindigkeitsvektor$v$Und$R\left(\mathrm{gyr}(v_{2\,4},\,v_{1\,2})\right)$die Thomas-Präzessionsrotation. Beachten Sie, dass die Rotation in jeder polaren Zerlegung gleich ist, aber die beiden Boosts unterschiedlich sind, weil$\oplus$ist nicht kommutativ: Sie können das für jede Drehung beweisen$R$und steigern$B$Das$R^T\,B\,R = R^{-1}\,B\,R = B^\prime$Wo$B^\prime$ist ein weiterer Schub (dies folgt aus der Flechtbeziehung$\exp(\mathrm{ad}(X)) = \mathrm{Ad}(e^X)$und die Vertauschungsbeziehungen für die Lorentz-Lie-Algebra). Hält man sich aber an eine konsistente Ordnung ( zB die Drehung immer links) in der polaren Zerlegung, so ist die Boost-Matrix eindeutig definiert.

Ihr grundlegendes Problem mit dem Diagramm besteht darin, dass Sie kein kommutatives Diagramm so zeichnen können, wie Sie es nur mit "Geschwindigkeitspfeilen" getan haben, da dies auf der vollständigen, eindeutigen Spezifikation der Endpunkte durch relative Geschwindigkeiten beruhen würde. Sie würden einen weiteren Knoten in Ihrem kommutativen Diagramm benötigen:

wobei System 5 relativ zu System 4 in Ruhe ist, aber um die entsprechende Rotation gedreht wird$R_{54}$

Die Lorentz-Transformations-Wiki-Seite im Abschnitt „Boost in jede Richtung“ zeigt Ihnen, wie Sie die beziehen können$\mathrm{gyr}$und Lorentz-Transformationsnotation.

Wie kann man die nicht-assoziative Zusammensetzung von Geschwindigkeiten in STR verstehen?

Die spezielle Relativitätstheorie führt zu einer Verrücktheit darüber, wie Ihre Achsen mit den Achsen anderer Beobachter in Beziehung stehen können: Wenn Ihre Achsen mit den Achsen von Beobachter A und ihre mit Beobachter B ausgerichtet sind, sagt die spezielle Relativitätstheorie (dh die Lorentz-Transformationen), dass die Achsen von B gedreht werden in Bezug auf deine.

Komposition:

Das Addieren von zwei Geschwindigkeiten bedeutet, dass sowohl Größen als auch Richtungen berücksichtigt werden, aber die Richtung hängt von der Wahl der Achsen ab, sodass die Geschwindigkeitsaddition nur dann sinnvoll ist, wenn die beiden Achsensysteme konsistent angegeben sind: Die Geschwindigkeitsadditionsformel ist eine Formel zum Addieren von Geschwindigkeiten aus zwei Systeme, deren Achsen ausgerichtet sind.

In den Kommentaren zur Frage wurde die Meinung geäußert, dass die Komposition assoziativ sein sollte, dh dass drei Geschwindigkeiten in beliebiger Reihenfolge addiert werden können sollten. Die Additionsformel gilt jedoch nur für zwei Achsensätze, die ausgerichtet sind, und STR sagt, dass drei Achsensätze nicht ausgerichtet werden können.

Wenn Sie mehr als zwei Geschwindigkeiten hinzufügen, müssen Sie vorsichtig sein, anstatt nur relative Geschwindigkeiten zu verwenden, müssen Sie möglicherweise (je nachdem, was genau der Ausdruck beinhaltet, siehe unten) jede zusätzliche Geschwindigkeit drehen, um der durch STR verursachten Fehlausrichtung der Achsen entgegenzuwirken dass jede Anwendung der Additionsformel auf zwei Geschwindigkeiten angewendet wird, die in Bezug auf dieselbe Achsenausrichtung gegeben sind.

Nicht-Assoziativität:

Wenden Sie eine Drehung auf die dritte Geschwindigkeit an, die Sie erhalten$\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus R\mathbf{w}$für eine Drehung R.

Wenn Sie untersuchen, was die Elemente dieser Gleichung darstellen, werden Sie sehen, warum nur die rechte Seite eine Drehung enthält: Diese Gleichung gilt für eine Situation mit 4 Beobachtern O, A, B, C mit relativen Geschwindigkeiten OA = u AB = v, BC=w. A-Achsen sind mit O, B mit A und C mit B ausgerichtet. STR sagt, dass C nach A gedreht wird, B nach O gedreht wird, C nach O gedreht wird. Die relative Geschwindigkeit von OB ist also$u\oplus v$, und AC ist$v\oplus w$. Hinzufügen$u$Zu$(v\oplus w)$ist ok, weil O und A ausgerichtet sind, aber addieren$(u\oplus v)$Zu$w$benötigt eine Drehung, da O und B nicht ausgerichtet sind.

Rotationsnotation:

Der Rotationsbetrag R, der von der relativen Geschwindigkeit benötigt wird$\mathbf{w}$hängt von der Geschwindigkeit des Beobachters ab, dass die$\mathbf{w}$ist relativ zu und wird von Ungar als bezeichnet$\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]$

$\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}$

Nicht-Eindeutigkeit:

Die obige Diskussion der Nicht-Assoziativität beinhaltete 4 Beobachter mit 3 gegebenen Geschwindigkeiten, aber Sie brauchen keine 3 Geschwindigkeiten, um Nicht-Eindeutigkeit zu sehen: Sie kommt mit nur 2 Geschwindigkeiten ins Spiel:

Laut STR entspricht die Zusammensetzung von zwei Boosts nicht einem einzelnen Boost, sondern einer Rotation und einem Boost. Auf die Koordinaten wird eine Lorentz-Transformation zwischen Frames angewendet. Wenn Sie zuerst die Rotation anwenden, ist die Richtung des erforderlichen Boosts von den rotierten Koordinaten anders als wenn Sie zuerst einen Boost anwenden: 3 Beobachter O, A, B mit Geschwindigkeiten OA = u, AB = v, dann die Geschwindigkeit von B aus den nicht gedrehten Koordinaten von O werden$u\oplus v$aber die Achsen von B werden gedreht. Alternativ zuerst die Achsen von O drehen und dann mit Geschwindigkeit beschleunigen$v\oplus u$nach B kommen.$u\oplus v$Und$v\oplus u$ungleich sind, ist die Geschwindigkeitsaddition nicht kommutativ.

Geschwindigkeitsaddition in 1D, 2D, 3D :

Wenn alle Geschwindigkeiten auf einer Linie liegen, gibt es keine Rotation und die Additionsformel reduziert sich auf$\mathbf{u}\oplus \mathbf{v}={{u+v} \over {1+(uv/c^2)}}$was kommutativ und assoziativ ist.

Die Formel, die Sie in Ihrer Frage angeben, verwendet parallele und senkrechte Komponenten, die zweidimensional sind. Wenn ein Ausdruck jedoch drei Geschwindigkeiten beinhaltet, kann sich die dritte Geschwindigkeit in einer anderen Ebene befinden, sodass die 3D-Formel verwendet werden muss:

$\mathbf{u}\oplus \mathbf{v}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left\{\mathbf{u}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{u}}\mathbf{v}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{1+\gamma_\mathbf{u}}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}\right\}$