Relativistische Geschwindigkeitsaddition

Wir wissen, dass die Regeln der relativistischen Addition komplizierter sind als die für einfache klassische Fälle. Beispielsweise können wir zwei Bezugsrahmen haben, und wenn wir die Bewegung der Rahmen selbst und die Geschwindigkeit eines Objekts in einem Rahmen kennen, können wir die Formel verwenden, um die Geschwindigkeit des Objekts im anderen Rahmen zu erhalten.

Stellen Sie sich jedoch vor, wir kennen die Geschwindigkeit eines Objekts in Bezug auf beide Frames, und wir möchten die Geschwindigkeit dieser Frames relativ zueinander herausfinden. Dies kann auch mit der Formel erfolgen.

Wir wissen

S S ' = S v ' + v S 1 + S v ' v S C 2

Hier, S S ' ist die Geschwindigkeit von S ' relativ zu S . S v ' ist die Geschwindigkeit des Rahmens S ' relativ zum Objekt und v S ist die Geschwindigkeit des Objekts relativ zum Rahmen S .

Meine Frage ist, nehmen wir an, die Bewegung des Objekts ist in 2 Abmessungen relativ zu beiden Rahmen. Verwenden wir die gleiche obige Formel für beide Richtungen getrennt? Normalerweise, wenn sich das Objekt entlang zwei Dimensionen bewegt, aber der Rahmen sich um eine Dimension bewegt, wird unsere Formel leicht modifiziert und der Lorentz-Faktor tritt ein, um die Geschwindigkeit in diesen anderen Richtungen zu finden. Die Formel wird so etwas wie: v S ' = v S γ ( 1 + S v ' v S C 2 ) . Ich weiß nicht genau, wie es aussehen wird, weil ich es gewohnt bin, die Geschwindigkeit eines Objekts (sagen wir) in der zu berechnen j Richtung eines Rahmens, der sich in der bewegt X Richtung relativ zu unserem ursprünglichen Rahmen.

Aber wenn wir nicht wissen, wie sich die beiden Frames relativ zueinander bewegen, und wir nur die Geschwindigkeit eines Objekts in jedem dieser Frames erhalten, wie können wir dann die relative Geschwindigkeit der beiden Frames in mehr als einem finden Maße ?

Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Formel hier anwenden soll, da wir gar nicht wissen, wie sich die Frames relativ zueinander bewegen.

Angenommen, die Geschwindigkeit eines Objekts entlang einer bestimmten Richtung ist für beide Frames gleich. Bedeutet das, dass die Geschwindigkeitskomponente beider Frames in dieser Richtung gleich ist?

Lassen Sie zum Beispiel v S = C 2 ( ich ^ + J ^ ) Und v S ' = C 2 ( − ich ^ + J ^ )

Da die Geschwindigkeit des Teilchens in der j Richtung in Bezug auf beide Frames gleich ist, können wir sagen, dass die relative Geschwindigkeit der Frames in der j Richtung ist zumindest 0 ?

Antworten (3)

Der einfachste Weg ist die Verwendung von Vierervektoren. Wenn ein Objekt drei Geschwindigkeiten hat u = [ u X u j u z ] in einem Rahmen ist seine vier Geschwindigkeit

γ u [ C u X u j u z ]

Die allgemeine Form einer Lorentz-Transformation vom Rahmen S einrahmen S ' Ist

[ γ − γ β X − γ β j − γ β z − γ β X 1 + ( γ − 1 ) β X 2 β 2 ( γ − 1 ) β X β j β 2 ( γ − 1 ) β X β z β 2 − γ β j ( γ − 1 ) β X β j β 2 1 + ( γ − 1 ) β j 2 β 2 ( γ − 1 ) β j β z β 2 − γ β z ( γ − 1 ) β X β z β 2 ( γ − 1 ) β j β z β 2 1 + ( γ − 1 ) β z 2 β 2 ]
Wo [ β X β j β z ] ist die Geschwindigkeit von S ' relativ zu S . Da sich der Vierervektor durch Matrixmultiplikation transformiert und beide Vierervektoren gegeben sind, ist es dann eine einfache Aufgabe, die Matrix nach der relativen Geschwindigkeit aufzulösen.

Da die Geschwindigkeit des Teilchens in y-Richtung in Bezug auf beide Rahmen gleich ist, können wir sagen, dass die relative Geschwindigkeit der Rahmen in der y-Richtung mindestens 0 ist?

Ja, dies impliziert, dass alle Relativgeschwindigkeiten entweder Null oder in senkrechter Richtung sein müssen.

Sie können das Ruhesystem des "Objekts" als eines Ihrer Referenzsysteme verwenden. In deinem Beispiel könnte man das sagen v S die Geschwindigkeit des Rahmens des Objekts in Bezug auf den nicht grundierten Rahmen ist, und − v S ' ist die Geschwindigkeit des grundierten Rahmens in Bezug auf den Rahmen des Objekts (beachten Sie das Minuszeichen). Von hier aus ist es einfach, die Geschwindigkeitsadditionsregel so anzuwenden, wie Sie sie verstehen, um die Geschwindigkeit des grundierten Rahmens in Bezug auf den nicht grundierten Rahmen zu ermitteln .

Genau das habe ich versucht, und in Bezug auf eine bestimmte Frage habe ich es geschafft, die richtige Antwort zu bekommen. Das Problem ist jedoch, dass die Geschwindigkeitsadditionsregel in Bezug auf parallele und senkrechte Komponenten leicht unterschiedlich ist. Jetzt hat das Objekt beides X Und j Komponente der Geschwindigkeit, genau wie die relative Geschwindigkeit zwischen grundierten und ungrundierten Frames. Wie errate ich, welches parallel und welches senkrecht in Bezug auf den Ruherahmen des Objekts ist?
Was ich tat, war relativ zur Geschwindigkeit des Objekts entlang der X Richtung eines Ruhesystems, die Geschwindigkeit von S , S ' Rahmen entlang derselben Richtung in diesem Rahmen ist parallel. Also fand ich die relative Geschwindigkeit in der X Richtung zwischen den beiden Rahmen. Ich habe genau das gleiche in der j Richtung.
@NakshatraGangopadhay: Sie müssten die allgemeinere Geschwindigkeitsadditionsgleichung verwenden, die es ermöglicht, dass sich die Frames nicht bewegen X -Richtung relativ zueinander. Wikipedia hat es , zusammen mit einer kurzen Ableitung. Ich glaube nicht, dass Sie die Transformationen so trennen können, wie Sie es getan haben, da die Geschwindigkeitstransformationsregeln nicht linear sind.

Wenn wir nicht wissen, wie sich die beiden Frames relativ zueinander bewegen, und wir nur die Geschwindigkeit eines Objekts in jedem dieser Frames erhalten, wie können wir dann die relative Geschwindigkeit der beiden Frames finden?

Wenn Sie die Geschwindigkeit des Objekts in Bezug auf Frame s' kennen (nennen Sie es v S ' ), dann kennst du die Geschwindigkeit S v ' des Rahmens S ' zum Objekt: S v ' = − v S ' . Diese paarweise Reziprozität der Geschwindigkeiten gilt immer.

Angenommen, die Bewegung des Objekts erfolgt in zwei Dimensionen relativ zu beiden Frames. Verwenden wir die gleiche obige Formel für beide Richtungen getrennt?

Nein nicht wirklich. Diese Formel gilt nur, wenn alle Geschwindigkeiten parallel sind. Im Wesentlichen funktioniert die relativistische Geschwindigkeitsaddition so, dass Sie eine Formel zum Zusammensetzen paralleler Geschwindigkeiten und eine andere zum Zusammensetzen senkrechter Geschwindigkeiten haben. Die allgemeine Formel für zwei beliebige Geschwindigkeiten wird abgeleitet, indem die Geschwindigkeitsvektoren in parallele und orthogonale Komponenten aufgeteilt werden (wie in diesem Artikel im Abschnitt "Allgemeine Konfiguration" zu sehen ist: https://en.wikipedia.org/wiki/ Geschwindigkeitsadditionsformel ).

Ja, daran hatte ich gedacht, aber das Problem dabei ist, dass zunächst davon ausgegangen wird, dass sich der grundierte Rahmen in bewegt X Richtung relativ zum nicht grundierten Rahmen. Das Teilchen hat sowohl parallele als auch senkrechte Geschwindigkeiten in beiden Frames, aber was passiert, wenn sich die Frames selbst in eine beliebige Richtung bewegen und nicht entlang der X Achse wie in der Ableitung von Wikipedia gezeigt.
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