Geschwindigkeitsaddition für Tachyonen

Die kurze Antwort ist, dass es gültig ist, aber viele Feinheiten fehlen.

Die Verwendung von drei Vektoren für die Geschwindigkeit in der speziellen Relativitätstheorie ist selbst für normale Geschwindigkeiten ziemlich unnatürlich, und es ist schlimmer für Tachyonen, da ihre drei Geschwindigkeiten "unendlich" und in gewissem Sinne "zeitumgekehrt" sein können (siehe unten) und Diese Situationen können nicht richtig mit drei Vektoren beschrieben werden.

Es ist besser, einen Vierervektor zu verwenden, um die Geschwindigkeit darzustellen. Die Vierergeschwindigkeit an einem Punkt ist nur ein Tangentenvektor zur Weltlinie an diesem Punkt. Ein Drei-Geschwindigkeit$(u_x,u_y,u_z)$ist äquivalent zu einer nicht normalisierten Vierergeschwindigkeit von$(1,u_x,u_y,u_z)$, oder irgendein positives skalares Vielfaches davon.

Alle Vierervektoren transformieren sich auf die gleiche Weise. Unter einem Lorentz-Schub in der$x$Richtung durch$v, |v|<1$(mit einem Drei-Geschwindigkeit$v$in Erwartung der Wiederherstellung der in der Frage zitierten Formel), wird diese Vierergeschwindigkeit$(γ(1 - vu_x), γ(u_x - v1), u_y, u_z)$. Sie können dies renormieren, um die Zeitkomponente gleich zu machen$1$wieder bekommen

$$\left( 1,\; \frac{u_x-v}{1-vu_x},\; \frac{u_y}{γ(1-vu_x)},\; \frac{u_z}{γ(1-vu_x)} \right)$$

und wenn du die fallen lässt$1$, und fügen Sie explizite Faktoren von hinzu$c$, erhalten Sie eine Verallgemeinerung der Formel aus der Frage (das ist der Sonderfall wo$u_y=u_z=0$).

Nichts in dieser Ableitung hängt von der Geschwindigkeit ab$u$Lichtgeschwindigkeit oder weniger als solche sein . Wenn Sie jedoch den verstärkten Vierervektor renormieren, müssen Sie durch die Zeitkomponente dividieren, und wenn die Geschwindigkeit tachyonisch ist (und nur wenn sie tachyonisch ist), kann diese Zeitkomponente Null sein. In diesem Fall können Sie die Geschwindigkeit durch eine "formal unendliche" Dreiergeschwindigkeit darstellen, die eine unendliche Größe und eine Richtung wie die eines beliebigen Nicht-Null-Vektors hat. Dies ist jedoch mathematisch verdächtig, und der einzige Grund, warum es sinnvoll ist, besteht darin, dass es der Vier-Vektor-Form entspricht. Es gibt auch keinen natürlichen Grund dafür, die Geschwindigkeit überhaupt als "unendlich" zu behandeln. Ob eine Geschwindigkeit in diesem Sinne "unendlich" ist, ist Frame-abhängig und daher nicht wirklich eine Eigenschaft der Geschwindigkeit.

Die Zeitkomponente kann auch negativ sein, und deshalb gehen beim Teilen Vorzeicheninformationen verloren. (Dies ist der Fall, wenn "das Tachyon sich rückwärts zu bewegen scheint", wie Sie in einem Kommentar bemerkt haben.) Ob die Zeicheninformationen von Bedeutung sind, hängt von der Art der hypothetischen Tachyonen ab. Wenn Tachyonen einen Zeitpfeil haben und die Vierergeschwindigkeit in Richtung zunehmender Eigenzeit zeigt (wie man es sich normalerweise bei Unterlichtgeschwindigkeiten vorstellt), dann geht die Richtung des Zeitpfeils bei der Umrechnung verloren. Wenn Tachyonen jedoch einen Zeitpfeil haben, können Sie sie verwenden, um Signale in Ihre eigene Vergangenheit zu senden (unter Verwendung eines "tachyonischen Antitelephons"), also können sie vielleicht keinen haben und der Verlust von Zeicheninformationen spielt keine Rolle.

Letztendlich ist die Drei-Geschwindigkeit jedoch nur eine schlechte Art, über die Geschwindigkeit von Tachyonen nachzudenken, auch wenn sie für diesen Zweck angepasst werden kann. Es ist besser, sowohl für subluminale als auch für superluminale Geschwindigkeiten bei der Vier-Geschwindigkeit zu bleiben.

Ja, die Geschwindigkeitsadditionsformel

$$u' = \frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}$$ gilt auch für Tachyonen.
Siehe den Artikel „ On Tachyon Lorentz Transformation “ (American Journal of Physics 37, 1281 (1969)).

Beachten Sie auch, dass es korrekt vorhersagt$|u'| > c$Wenn$|u| > c$.

Die Frage ist allgemein, und das Thema Tachyonen ist ein Ablenkungsmanöver (und tatsächlich ist das Thema Relativität selbst ein bisschen ein Ablenkungsmanöver - wie Sie gleich sehen werden). Was Sie eigentlich fragen, ist, was die Transformation einer Linie in der Raumzeit ist.

Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass die Linie in parametrischer Form durch gegeben ist$(x,t) = \left(x_0 + λ a, t_0 + λ b\right)$, für$λ ∈ ℝ$, wo wir annehmen$(a,b) ≠ (0,0)$. Diese Linie wird zeitlich gesehen als Bewegung entlang der$x$Achse mit einer Geschwindigkeit$u$, Wo$a = u b$. Wenn$b = 0$, dann ist die Geschwindigkeit unendlich:$u = ∞$, und die Linie wird zeitlich gesehen überhaupt nicht als Bewegung, sondern als tatsächliche Linie im Raum betrachtet, die zu einem Zeitpunkt - nämlich: zur Zeit - existiert$t_0$.

Da wir nur nach Geschwindigkeiten (und Steigungen) fragen, nehmen Sie ohne wirklichen Verlust an Allgemeingültigkeit auch an, dass die Linie durch den Ursprung verläuft$(0,0)$, mit$\left(x_0, t_0\right) = (0,0)$.

Die Wirkung der Koordinaten unter einem Schub durch eine Geschwindigkeit$v$in einer Richtung parallel zur$x$Achse ist gegeben durch:

$$(x, t) → \left(\frac{x - v t}{\sqrt{1 - α v^2}}, \frac{t - α v x}{\sqrt{1 - α v^2}}\right).$$ Dies gilt allgemein für eine Vielzahl von Fällen wie folgt:

• $α = 0$: Geometrien, bei denen unendlich eine absolute Geschwindigkeit ist; dh die Geometrie der nicht-relativistischen Theorie.
• $α > 0$: Geometrien, die eine endliche absolute Geschwindigkeit ungleich Null besitzen$c = 1/\sqrt{α}$; dh die Geometrie, der die Spezielle Relativitätstheorie unterliegt.
• $α < 0$: Euklidische Geometrie, wo$t$ist eigentlich eine räumliche Dimension und überhaupt keine zeitliche Dimension, und Geschwindigkeiten sind nur Steigungen.

Die Transformation unterliegt der folgenden Einschränkung: $$1 - α v^2 > 0,$$ was nur in den Fällen wirkt$α > 0$, wodurch die Geschwindigkeit der Boost-Transformation auf begrenzt wird$|v| < c$.

So,$u$hat keine Einschränkung, aber$v$tut - wenn in dem Fall$α > 0$der Relativität.

Für die euklidische Geometrie$α < 0$, beschreiben die Transformationen - wenn sie in dieser Form geschrieben werden - nur Drehungen zwischen -90 Grad und +90 Grad und sind nur eine Teilmenge des gesamten Bereichs, da Sie um 180 Grad umdrehen können, aber wir machen uns nicht allzu viele Gedanken darüber Das; da dieser Fall für unsere Frage hier nicht zentral ist.

Unter Transformation wird die Gleichung der Linie

$$(x,t) = \left(λ a, λ b\right) → \left(λ \frac{a - v b}{\sqrt{1 - α v^2}}, λ \frac{b - α v a}{\sqrt{1 - α v^2}}\right) = \left(Λ (a - v b), Λ (b - α v a)\right),$$ Wo$Λ = λ/\sqrt{1 - α v^2}$. Dies beschreibt eine Linie mit Geschwindigkeit $$u' = \frac{a - v b}{b - α v a}.$$ Im Falle$b ≠ 0$, Wo$u = a/b$endlich und ungleich Null ist, dann bei Division von oben und unten durch$b$, daraus wird: $$u' = \frac{u - v}{1 - α u v}.$$ Im Falle$b = 0$, Wo$u = ∞$, es wird: $$u' = \frac{1}{-αv}.$$ Für den nichtrelativistischen Fall gilt$α = 0$, es bleibt unendlich:$u' = ∞$, andernfalls für Relativitätstheorie, wo$α = 1/c^2$, es wird$u' = -c^2/v$. Schließlich in dem Fall, wo$α u v = 1$, wir haben$u' = ∞$. Das schließt den oben erwähnten Fall für die nichtrelativistische Theorie ein. Für die Relativitätstheorie, mit$u v = c^2$, seit$|v| < c$, dann darf dies nur dann zutreffen, wenn$|u| > c$- dh zu Tachyonen.

Tachyonen sind also überhaupt keine „Dinge, die sich in der Zeit durch den Raum bewegen“, sondern existieren nur als Linien im Raum, die (in mindestens einem Bezugsrahmen) zu einem bestimmten Zeitpunkt existieren.

Die nichtrelativistische Version davon entspricht der augenblicklichen Form dessen, was informell als "Kraftlinie" bezeichnet wurde, da sie eine augenblickliche Impulsübertragung über den Raum vermittelt.

Sie können dies weiter verallgemeinern, um die "Carrollschen" und "statischen" Universen einzubeziehen, indem Sie einen zweiten Verformungskoeffizienten hinzufügen$β$und Verallgemeinerung der Transformation zu:

$$(x, t) → \left(\frac{x - β v t}{\sqrt{1 - αβ v^2}}, \frac{t - α v x}{\sqrt{1 - αβ v^2}}\right).$$ Hier ist Lichtgeschwindigkeit$c = \sqrt{β/α}$, Wenn$αβ > 0$, wobei die bereits berücksichtigten Fälle entsprechen$β = 1$. Die entsprechende Transformation wird dann stattdessen zu $$u' = \frac{a - β v b}{b - α v a}.$$ Für das karrollische und das statische Universum gilt:$β = 0$, hat man: $$u' = \frac{a}{b - α v a}.$$ Es ist dann tatsächlich besser, stattdessen inverse Geschwindigkeiten in Betracht zu ziehen und zu schreiben $$\frac{1}{u'} = \frac{1}{u} - α v.$$

Null Geschwindigkeit$u = 0$(dh$a = 0$) verwandelt sich in Nullgeschwindigkeit:$u' = 0$: sowohl im statischen als auch im karrollschen Universum, dh 0 ist eine absolute Geschwindigkeit. Im statischen Universum hat man das auch$α = 0$, und die Transformation ist gerecht$u' = a/b = u$, sodass im statischen Universum alle Geschwindigkeiten absolut sind. Ansonsten gilt für das carrollianische Universum (wo$α ≠ 0$), unendliche Geschwindigkeit$u = ∞$Und$b = 0$, würde sich verwandeln als$u' = 1/(-αv)$, wie im Fall der Relativitätstheorie.