Relative Geschwindigkeitsaddition

Ihre Gleichungen sind im Wesentlichen korrekt ... aber möglicherweise verwirrend.
Wenn es um Geschwindigkeiten [Größen] geht, sollten Sie Absolutwerte verwenden.

Ich denke, es könnte hilfreich sein, [x-Komponenten von] Geschwindigkeiten anstelle von "Geschwindigkeiten [nach rechts oder links]" zu verwenden und eine anschaulichere Notation zu verwenden.

Lassen$v_{BA}$bezeichne "B bewegt sich relativ zu A mit einer Geschwindigkeit von u nach rechts".
Lassen$v_{CA}$bezeichne "C bewegt sich relativ zu A mit der Geschwindigkeit v nach rechts".
Lassen$v_{CB}$bezeichnen "[C bewegt sich] relativ zu B mit der Geschwindigkeit w nach rechts.".

Dann lautet die Relativgeschwindigkeitsformel

$$v_{CB} = \frac{v_{CA}-v_{BA}}{1-\frac{v_{CA}v_{BA}}{c^2}},$$ hält, unabhängig davon, ob sich die Leute nach rechts oder links bewegen. (Insbesondere, $v_{CB}$kann negativ sein.)

Wenn Sie darauf bestehen, "Geschwindigkeiten" [Größen] zu verwenden, werden Zeichen eingeführt, wenn Sie sich "nach links bewegen". Also, wenn C [meine Anführungszeichen] „sich relativ zu A mit Geschwindigkeit bewegt$V$nach links“, dann$v_{CA}=-V$. Die Relativgeschwindigkeit wäre also

$$v_{CB} = \frac{(-V)-v_{BA}}{1-\frac{(-V)v_{BA}}{c^2}},$$ und die Relativgeschwindigkeit wäre ihr Absolutwert.

In der Galilei-Grenze (wenn Relativgeschwindigkeiten viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit$c$), ist der Nenner praktisch "1". Wir erhalten also die Galileische Relativgeschwindigkeitsformel:

$$v_{CB} \stackrel{\rm Gal}{=} v_{CA}-v_{BA}.$$ Für das Galiläische die [Addition] Geschwindigkeitszusammensetzungsformel, löse auf $v_{CA}$erhalten $$v_{CA} \stackrel{\rm Gal}{=} v_{CB}+v_{BA}.$$