Wie leitet man die Addition von Geschwindigkeiten ohne die Lorentz-Transformation ab?

Da die Lorentz-Transformationen eine Folge des Postulats der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit sind, zusammen mit einigen Homogenitäts- und Parallelpostulaten, ist es ein wenig schwierig, die Forderung nach einer Lorentz-transformationsfreien Demonstration zu präzisieren.

Aber ich werde die Frage so interpretieren, dass sie nach einem synthetischen Beweis der Addition von Geschwindigkeiten verlangt. Ein synthetischer Beweis ist ein Beweis im gleichen Stil wie die Beweise der euklidischen Geometrie, die Sie in der Grundschule machen. Es gibt Ihnen ein Bild und eine intuitive Möglichkeit, die Formel zu verstehen.

Zunächst sollten Sie verstehen, dass eine Geschwindigkeit das Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur verstrichenen Zeit ist, sie ist das Analogon des Tangens eines Winkels in der Geometrie. In der Geometrie gibt es ein Tangentenadditionsgesetz:

$$\tan(a+b) = {\tan(a) + \tan(b)\over 1 - \tan(a)\tan(b)}$$

Der einfachste Weg, die Relativitätstheorie zu verstehen, ist, dass es sich um Lorentz-Geometrie handelt – eine Geometrie, bei der der Satz des Pythagoras ein Minuszeichen hat und senkrechte Linien nicht senkrecht aussehen, sondern die gleiche Neigung relativ zur 45-Grad-Linie haben (auf der gegenüberliegenden Seite Seiten), wobei die markante 45-Grad-Linie der Lichtstrahl ist.

In der Lorentzschen Geometrie ist die Additionsformel das Gesetz der Addition von hyperbolischen Tangenten:

$$\tanh(a+b) = {\tanh(a) + \tanh(b) \over 1 + \tanh(a)\tanh(b)}$$

Wenn Sie die Winkel als die Schnelligkeiten interpretieren (dies ist nur die Definition des Lorentzschen Analogons des Winkels), die hyperbolischen Tangenten als die Geschwindigkeiten, dann ist dies das Gesetz der Geschwindigkeitsaddition.

Synthetischer Beweis beider Tangentenadditionsgesetze

Überprüfen Sie zunächst diese beiden Antworten: Einsteins Postulate$\leftrightarrow$Minkowski-Raum für einen Laien und: Was sind die Mechanismen, durch die Zeitdilatation und Längenkontraktion auftreten? . Für die Geometrie braucht man ein wenig Intuition.

Betrachten Sie das folgende Diagramm:

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Die geometrische Addition von Tangenten

Wo die Länge des Segments AB 1 ist, ist die Länge des Segments BC gleich u und der Winkel ABC ist rechts. Dies impliziert, dass der Winkel CAB per Definition eine Tangente von u hat und dass die Länge von AC ist$\sqrt{1+u^2}$.

Wenn ich möchte, dass der Winkel CAE eine Tangente v hat, muss das Verhältnis von EC zu CA v sein. Dies bestimmt die Länge von EC$v\sqrt{1+u^2}$, und daraus lernen Sie, dass die Länge von CD v und die Länge von DE uv ist (da das Dreieck ABC und CDE ähnlich sind). Sie können alle Längen mit einem Stift ausfüllen, mein Zeichenprogramm erlaubte keine Quadratwurzeln.

Daher ist der Tangens der Summe der beiden Winkel das Verhältnis

$${EF\over AF} = {u + v \over 1 - uv}$$

Und ich hoffe, das Diagramm ist ohne komplizierte Formeln selbstverständlich.

Für die Relativitätstheorie macht man dasselbe in der Raumzeit. Das analoge Diagramm ist unten angegeben.

Die relativistische Addition von Geschwindigkeiten --- Zeitachse horizontal

Im Dreieck ABC liegt AB auf der Zeitachse (ich habe es horizontal gezeichnet, um das Diagramm so ähnlich wie möglich dem vorherigen zu machen), und es hat die Länge 1. BC hat die Länge u, sodass die Geschwindigkeit der Linie AC gleich u ist .

Daraus ergibt sich die Länge von AC mit der relativistischen Version des Satzes des Pythagoras (mit Minuszeichen). CE wird dann relativistisch – senkrecht zu AC gezeichnet (so sieht es aus – gewöhnen Sie sich daran), und Triange CED ist ABC ähnlich (aus dem gleichen Grund wie in der euklidischen Geometrie), sodass die Längen proportional sind. Daraus erfahren Sie, dass DE die Länge v und CD die Länge uv hat (genau wie zuvor).

Nun ist die Gesamtgeschwindigkeit wie zuvor durch das Verhältnis von EF zu AF gegeben und beträgt nun:

$${EF\over AF} = {u+v\over 1+uv}$$

Um sich selbst davon zu überzeugen, dass dies wirklich in Ordnung ist, müssen Sie sich mit den Drehungen der Relativitätstheorie vertraut machen.

Ich unterstütze Rons Antwort – es ist die systematische Vorgehensweise. Die Geschwindigkeit$v/c$kann geschrieben werden als$\tanh \eta$wo$\eta$, die Schnelligkeit oder was auch immer, ist das hyperbolische (Minkowski) Gegenstück zum (euklidischen) Winkel. Die Addition von Geschwindigkeiten läuft dann auf eine Additionsformel für hinaus$\tanh(\eta_1+\eta_2)$denn die Schnelligkeiten addieren sich einfach.

Lassen Sie mich eine elementare Ableitung ohne ausgefallene Schnelligkeiten anbieten. Stellen Sie sich vor, dass sich ein Objekt mit der Geschwindigkeit bewegt$u$rechts bewegt sich ein weiteres Objekt vorbei$v$nach links in Bezug auf unseren Rahmen. Wie groß ist ihre Relativgeschwindigkeit?

Die Weltlinie des ersten Beobachters ist eine gerade Linie, die die Punkte enthält$(0,0)$und$(1,u)$; die koordinaten sind$(t,x)$. Das andere Objekt hat eine Weltlinienverbindung$(0,0)$mit$(1,-v)$. Stellen wir uns nun vor, wir transformieren die Situation in das Ruhesystem des zweiten Beobachters, dh verstärken es um die Geschwindigkeit$v$. Wie wird sich die Weltlinie des ersten Beobachters neigen?

Um die Antwort zu finden, beachten Sie, dass Sie den Lorentz-Boost ausführen, der den Ursprung festlegt$(0,0)$, das Lorentzsche innere Produkt der beiden Vektoren,$(1,u)$und$(1,-v)$, wird sich nicht ändern; Ich definiere das Skalarprodukt von$(A,B)$und$(C,D)$wie$AC-BD/c^2$wobei das Minuszeichen aus der Lorentzschen Relativitätstheorie stammt und$c^2$ist die herkömmliche Umrechnung von Länge in Zeit. Auch ihre Länge ändert sich nicht. Es bedeutet auch, dass sich das innere Produkt dividiert durch das Längenprodukt nicht ändert. Im Originalframe ist es gleich

$$\frac{(1,u)\cdot (1,-v)}{|(1,u)|\cdot |(1,-v)|} = \frac{1^2+uv/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Beachten Sie, dass ich durch das Nehmen des Verhältnisses die absolute Normalisierung der beiden Vektoren aufgehoben habe $(1,u)$und $(1,-v)$, also spielt diese Normalisierung keine Rolle. Dieses Verhältnis muss jedoch in dem neuen Rahmen gleich sein, in dem die Vektoren der Beobachter liegen, die die Richtungen der Weltlinie anzeigen $(1,0)$und $(1,V)$wo $V$ist die totale Relativgeschwindigkeit. Von diesen beiden Vektoren ist das gleiche Verhältnis wie oben (was wiederum die Normalisierung aufhebt) gleich $$\frac{(1,0)\cdot (1,V)}{|(1,0)| \cdot |(1,V)|} = \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$$ Nur um sicherzugehen, müssen die Verhältnisse gleich sein und sie können auch geschrieben werden als $\cosh \eta$wo $\eta$ist der gesamte "hyperbolische Winkel", dh die Geschwindigkeit zwischen den beiden Weltlinien, derselbe "Winkel", wie oben diskutiert. Die Formel für $\cosh$ist analog zur High-School-Formel für $\cos$mit dem inneren Produkt, aber Sie müssen nichts aus diesem Absatz wissen, um meiner Herleitung zu folgen.

Jetzt haben wir

$$\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} = \frac{1^2+uv/c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Quadriere es und invertiere es: $$1 - \frac{V^2}{c^2} = \frac{(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)}{(1+uv/c^2)^2}$$ Erweitern Sie das Produkt im Zähler und subtrahieren Sie eins von beiden Seiten: $$- \frac{V^2}{c^2} = \frac{1 - u^2/c^2 - v^2/c^2 + u^2 v^2/c^4 - 1 - 2uv/c^2-u^2 v^2/c^4}{(1+uv/c^2)^2}$$ Der Zähler der rechten Seite vereinfacht, zwei Termpaare kürzen sich: $$- \frac{V^2}{c^2} = \frac{- u^2/c^2 - v^2/c^2 - 2uv/c^2}{(1+uv/c^2)^2}$$ Multiplizieren Sie nun beide Seiten mit $(-1)$um die Zeichen loszuwerden. Und sogar ich kann jetzt die Quadratwurzel berechnen: $$\frac{V}{c} = \frac{u/c+v/c}{1+uv/c^2}$$ was wir beweisen wollten. Fühlen Sie sich frei, es mit zu multiplizieren $c$wieder.

David Mermin hat sich ein schönes Gedankenexperiment ausgedacht, das in seinem Buch Boojums durchgehend zu finden ist :

Angenommen, ein Beobachter befindet sich in einem Inertialsystem$S$beobachtet einen Zug, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt$v$. Die Länge des fahrenden Zuges, gemessen in$S$, ist gleich$L$. Jetzt zur Zeit$t=0$, ein Photon und ein massives Teilchen (mit Geschwindigkeit$w < c$) beginnen, sich vom hinteren Ende des Zuges nach vorne zu bewegen.

Das Photon erreicht jeweils die Vorderseite$t=T$, und wird dann zurückreflektiert; währenddessen bewegt sich das massive Teilchen immer noch nach vorne. Irgendwann später$t=T+T'$treffen das Teilchen und das reflektierte Photon an einer bestimmten Stelle im Zug aufeinander. Lassen Sie uns diesen Ort als Bruch ausdrücken$f$der Gesamtlänge$L$. Da dieser Ort in jedem Bezugssystem derselbe ist, können wir das festhalten$f$ist unveränderlich (wenn wir die vernünftige Annahme treffen, dass sich die Verhältnisse zwischen Längen von einem Referenzrahmen zum anderen nicht ändern).

Daraus haben wir

$$w(T + T') = c(T - T')\tag{1}.$$ Tatsächlich haben sowohl das Teilchen als auch das Photon während der gesamten Zeit die gleiche Nettoentfernung zurückgelegt $T+T'$, aber das Photon bewegte sich während des Zeitintervalls in die entgegengesetzte Richtung $T'$. Die Strecke, während der sich das Photon bewegt hat $T$von hinten nach vorne ist die Länge $L$des Zuges + die Strecke, die der Zug in dieser Zeit zurückgelegt hat: $$cT = L + vT\tag{2}.$$ In ähnlicher Weise die Entfernung, während der sich das Photon bewegt hat $T'$von vorne bis zum Treffpunkt $fL$ist $$cT' = fL - vT'\tag{3}.$$ Aus Gleichung (1) finden wir $$\frac{T'}{T} = \frac{c-w}{c+w}\tag{4},$$ und dies mit (2) und (3) kombinieren, finden wir $$f = \left(\frac{c+v}{c-v}\right)\frac{T'}{T} = \frac{(c+v)(c-w)}{(c-v)(c+w)}.\tag{5}$$ Seit $f$invariant ist, bleibt diese Beziehung im Bezugssystem wahr $S'$die sich mit dem Zug bewegt. In diesem Rahmen $v=0$und das massive Teilchen wird beispielsweise eine andere Geschwindigkeit haben $u$. Also bekommen wir $$f = \frac{c-u}{c+u}.\tag{6}$$ Wenn wir nun (5) und (6) gleichsetzen, finden wir $$\frac{c+w}{c-w} = \left(\frac{c+u}{c-u}\right)\left(\frac{c+v}{c-v}\right),\tag{7}$$ und Lösung für $w$führt auf das bekannte relativistische Additionsgesetz: $$w = \frac{u+v}{1 + uv/c^2}.\tag{8}$$ Die einzigen Annahmen in diesem einfachen Gedankenexperiment sind die Lichtgeschwindigkeit $c$und Verhältnisse zwischen Längen sind unveränderlich.