Annäherungsgeschwindigkeit eines Lichtstrahls an ein sich bewegendes Objekt

Lassen Sie mich die relativistische Geschwindigkeitsadditionsformel zum einfachen Nachschlagen zitieren:

$$v_{AB} = \frac{v_A - v_B}{1 + \frac{v_Av_B}{c^2}}\tag{SR}$$ Ich vermute, Sie haben diese Mengen wie folgt interpretiert:

• $v_A$ist die Geschwindigkeit des Lichtstrahls relativ zu George
• $v_B$ist die Geschwindigkeit von Gracie relativ zu George
• $v_{AB}$ist die Geschwindigkeit des Lichtstrahls relativ zu Gracie

Wenn ja, liegt Ihr Fehler in der dritten Interpretation.$v_{AB}$ist die von Gracie gemessene Geschwindigkeit des Lichtstrahls - das heißt in Gracies Bezugsrahmen . Das ist nicht dasselbe wie die Differenz zwischen der Geschwindigkeit des Lichtstrahls in Georges Bezugssystem ($v_A$) und Gracies Geschwindigkeit in Georges Bezugssystem ($v_B$). Genau das meinen die Leute, wenn sie sagen, dass sich Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie nicht linear addieren: die Tatsache, dass die Geschwindigkeit von A im Referenzrahmen von B nicht die gleiche ist wie die Geschwindigkeit von A minus der Geschwindigkeit von B.

Beachten Sie, dass wenn$v_A,v_B\ll c$In der obigen Gleichung liegt der Nenner sehr nahe bei$1$und die Formel wird ungefähr

$$v_{AB} = v_A - v_B\tag{Galilean}$$ Die Galileische Relativitätstheorie ist eine Theorie, die diese Gleichung anstelle derjenigen von ganz oben verwendet. Es funktioniert gut für sich langsam bewegende Objekte.

Der Schlüssel zum Verständnis dieses etwas überraschenden Ergebnisses ist, dass die relativistische Geschwindigkeitsadditionsformel auf diese Berechnung nicht anwendbar ist .

Als Beispiel für die Anwendung der Geschwindigkeitsadditionsformel nehmen wir an, es gibt ein Objekt mit (1D) Geschwindigkeit$\mathbf u$in einem Trägheitskoordinatensystem.

Nun, was ist die Geschwindigkeit$\mathbf u'$ dieses Objekts in einem anderen Trägheitskoordinatensystem, das sich mit (gleichförmiger) Geschwindigkeit bewegt$\mathbf v$in Bezug auf das andere System?

Nach der relativistischen Geschwindigkeitsadditionsformel hat das Objekt Geschwindigkeit

$$\mathbf u' = \frac{\mathbf u - \mathbf v}{1 - \frac{\mathbf u \mathbf v}{c^2}}$$

im relativ bewegten Koordinatensystem. Das garantiert$u' \le c$wie Sie es erwarten.

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Bei dieser Aufgabe werden Sie jedoch nicht aufgefordert, die Geschwindigkeit eines Objekts zu ermitteln.

• Sie werden aufgefordert, die Rate zu ermitteln, mit der sich der Abstand zwischen zwei Objekten, die sich relativ zu einem Trägheitskoordinatensystem bewegen, ändert.

Obwohl diese Größe Geschwindigkeitseinheiten hat, ist sie nicht die Geschwindigkeit eines Objekts und kann daher größer sein als$c$.

Betrachten Sie beispielsweise zwei Objekte$A$Und$B$. Die Position des Objekts$A$in einem Trägheitskoordinatensystem ist

$$x_A = vt$$

während die Position des Objekts$B$Ist

$$x_B = -vt$$

Wo

$$v \lt c$$

Der Abstand zwischen den Objekten in diesem Koordinatensystem ist einfach

$$d_{AB} = |x_A - x_B| = |vt - (-vt)| = 2vt$$

Dann ist die zeitliche Änderungsrate dieser Strecke gerade

$$\frac{d}{dt}(d_{AB}) = 2v$$

Somit kann die Geschwindigkeit, mit der sich der Abstand ändert, beliebig nahe sein$2c$.

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Legen Sie im konkreten Fall des vorliegenden Problems fest, dass in dem Trägheitskoordinatensystem, in dem George ruht, die Koordinaten von Gracie liegen

$$x_{Gracie} = d_0 + vt$$

und die Koordinaten der Vorderseite des Lichtstrahls sind

$$x_\gamma = ct$$

Der Abstand zwischen ihnen ist dann

$$d = d_0 + vt - ct$$

und der Abstand ändert sich mit einer Rate von

$$\dot d = v - c < 0$$

das heißt, der Abstand nimmt mit einer Rate von ab$c - v$.