Eine Frage in der Speziellen Relativitätstheorie

Ihre Frage scheint zu sein: Wenn der Beobachter auf der Erde sieht, wie sich das Raumschiff mit der Geschwindigkeit v bewegt, woher wissen wir dann, dass der Beobachter auf dem Raumschiff die Erde sich mit der Geschwindigkeit -v bewegen sieht?

Dies ist als das Problem des „Reziprozitätsprinzips“ bekannt und insofern gut, als es die folgende Frage aufwirft: „Folgt das Reziprozitätsprinzip aus den grundlegenden Postulaten der speziellen Relativitätstheorie oder ist es fremd, etwas angenommen, aber nicht berücksichtigt denn in den Postulaten?"

Das Problem wird seit langem diskutiert und eine allgemein akzeptierte Antwort lautet, dass "Reziprozität aus dem Relativitätsprinzip und den grundlegenden Annahmen zur Isotropie und Homogenität des Raums folgt". So intuitiv oder glaubwürdig dies klingt, ein detaillierter Beweis dieser Schlussfolgerung ist nicht ganz einfach. Um zu sehen, warum, lesen Sie das folgende Papier zu genau diesem Thema:

V. Berzi, V. Gorini, „Reziprozitätsprinzip und die Lorentz-Transformationen“, J.Math.Phys. 10 , 1518-24 (1969) (pdf, nicht auf der JMP-Website)

Es ist nur eines von vielen, gibt Ihnen aber eine gute Vorstellung davon, worum es geht.

Eine kurze und wahrscheinlich nicht sehr befriedigende Antwort auf Ihre Frage wäre: Angesichts der Tatsache, dass Längen- und Zeiteinheiten für die beiden Beobachter gleich sind und der Raum an jedem Punkt entlang jeder Richtung die gleichen Eigenschaften hat (homogen und isotrop). , sagt uns das Relativitätsprinzip, dass, wenn Beobachter A Beobachter B sich mit der Geschwindigkeit v bewegen sieht, Beobachter B sehen muss, wie A dieselbe Art von Bewegung in die entgegengesetzte Richtung erfährt. Daher muss B sehen, wie sich A mit der Geschwindigkeit -v bewegt.

Abgesehen von der Antwort von udrv und abgesehen von den technischen Details, die er anspricht, gibt es zwei Möglichkeiten, die Reziprozitätsbeziehung zu argumentieren , die der Boost vom Beobachter hat$A$Zu$B$ist der Auftrieb aus$B$Zu$A$aber mit$v\mapsto-v$.

Durch die detaillierten Argumente im Nachwort stellen wir fest, dass die Transformationen zwischen Inertialsystemen eine Gruppe bilden und diese Gruppe linear auf affine Koordinaten wirkt (grob gesagt, dass Lorentz-Transformationen eine Matrixgruppe sein müssen, die auf Spaltenvektoren der kartesischen / Minkowski-Raumzeit co -Ordinaten). Dies folgt aus Galileis Relativitätsprinzip, Kontinuität der Transformation und Homogenität der Raumzeitannahmen.

Also nehmen wir jetzt die Isotropie des Raums an und betrachten die Untergruppe der Boosts in einer Richtung. Fixieren Sie die durch räumliche Isotropie$x$Achse diese Richtung sein. Daraus folgt, dass unsere Gruppe kolinearer Boosts die Form hat:

$$\mathfrak{L}=\{\exp(\eta\,K)|\,\eta\in\mathbb{R}\}\tag{1}$$

für einige konstant$2\times 2$Matrix, die die grundlegende Natur des Boost-Phänomens charakterisiert, wo die Mitglieder von$\mathfrak{L}$handeln$2\times 1$Spaltenvektoren des Formulars$\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)$.

Es gibt nun zwei verschiedene Annahmen, die Sie von (1) zur Reziprozitätsbeziehung führen:

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Argument 1

Wir rufen erneut die räumliche Isotropie auf und betrachten, was passiert, wenn wir die Koordinatentransformation durchführen$x\mapsto-x$. Räumliche Isotropie verlangt, dass die Matrix$K$in (1) muss gleich sein; nur der Schnelligkeitsparameter kann$\eta$kann wechseln; sagen, es ist$\eta^\prime=h(\eta)$in den transformierten Koordinaten, wo$h()$ist eine Funktion, deren Charakter wir finden müssen. Zur Durchführung der Koordinatentransformation$x\mapsto-x$wir finden:

$$\begin{array}{cl}&\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&\kappa_{t\,x}\\\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\\=&\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&-\kappa_{t\,x}\\-\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right)\\ =& \exp\left(h(\eta)\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&\kappa_{t\,x}\\\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right);\;\forall\,\eta\in\mathbb{R}\end{array}\tag{2}$$

Aus dieser Gleichung leiten wir das ab$\kappa_{x\,x}=\kappa_{t\,t}=0$und das$\eta^\prime = h(\eta) = -\eta$(Die andere Möglichkeit$\eta^\prime=\eta$ergibt eine Diagonale$K$Matrix, die keine relative Bewegung beschreibt). Als Grundform der Transformation bleibt also:

$$T(\eta) = \left(\begin{array}{cc}\cosh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)&\sqrt{\frac{\kappa_{t x}}{\kappa_{x t}}}\sinh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\\\sqrt{\frac{\kappa_{x t}}{\kappa_{t x}}}\sinh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)&\cosh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\end{array}\right)\tag{3}$$

Einige weitere Algebra "kalibrieren" die Form in (3) in Bezug auf die vorzeichenbehaftete Entfernung über der Zeitgeschwindigkeit$v$zeigt, dass:

$$v = \sqrt{\frac{\kappa_{x t}}{\kappa_{t x}}} \tanh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\tag{4}$$

Jetzt leiten Sie die Transformation ab$B$Zu$A$diesbezüglich ab$B$Zu$A$, finden Sie eindeutig die inverse Transformation, und aus (1) bedeutet dies, die Transformation mit einem Vorzeichenwechsel in der Schnelligkeit zu finden ($\eta\mapsto-\eta$). Aber nach (4) ist dies dasselbe wie das Ändern des Vorzeichens von$v$.

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Argument 2

Sie können auch die Form (3) und (4) und damit die Reziprozitätsbeziehung ableiten, indem Sie mit (1) beginnen und davon ausgehen, dass die inverse Transformation dieselbe ist wie die Transformation, die wir erhalten, wenn wir die Koordinatentransformation durchführen$t\mapsto-t$. Dies ist dasselbe wie zu sagen, dass "Zeit rückwärts laufen lassen" dem "Rückwärtslaufen eines Films mit relativer Bewegung" entspricht. Sie schreiben dann fast genau dieselbe Gleichung wie in (2) auf, aber jetzt wissen Sie das von vornherein ( dh durch Annahme).$h(\eta) = -\eta$. Die Form von (4) und die Reziprozitätsbeziehung folgen dann wie zuvor.

Wenn Sie darüber nachdenken, ist dies genau dasselbe wie eine "Isotropie der Zeit" zu argumentieren: dass die Richtung der Zeit die Form der Boost-Matrix nicht beeinflussen sollte. Daher ist es von diesem Standpunkt aus fast das gleiche Argument wie Argument 1.

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Referenz

Ein weiteres gutes Papier, zusätzlich zu dem in udrvs Antwort zitierten , zu diesem Thema ist:

Jean-Marc Lévy-Leblond, "Eine weitere Ableitung der Lorentz-Transformation", Am. J. Phs. 44

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Nachwort: Warum eine linear agierende Matrixgruppe

1. Das Galileo-Prinzip zeigt, dass Transformationen zwischen Inertialsystemen eine Gruppe bilden . Aus dem Relativitätsprinzip von Galileo kann man argumentieren, dass die Menge der Transformationen$\mathscr{T}$zwischen Trägheitsrahmen zusammen mit der Transformationszusammensetzung$\circ$bilden zusammen eine Gruppe$(\mathscr{T},\,\circ)$. Dies liegt daran, dass die Transformation zwischen zwei Trägheitsrahmen nur von der relativen Bewegung zwischen diesen beiden Rahmen abhängen kann und nicht von ihrer mutmaßlichen Bewegung, die sich auf etwas anderes bezieht (dies steht im Einklang mit der Allegorie von Salviatis Schiff ). Daher kann die Zusammensetzung mehrerer Boosts nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängen, sie kann insbesondere nicht davon abhängen, wie die Boosts eingeklammert werden, daher muss die Transformationszusammensetzung assoziativ sein. Wenn Sie weiter davon ausgehen, dass die Transformationskomposition keine Informationen zerstören kann - das ist eine Beschreibung aus dem Rahmen$B$kann vom Rahmen berechnet werden$A$und umgekehrt, dann sind die Transformationen zwischen Trägheitssystemen invertierbar. Deshalb,$(\mathscr{T},\,\circ)$ist eine Gruppe;

2. Homogenität der Raumzeit zeigt, dass die Gruppe linear auf affine Raumzeit-Koordinaten wirkt Aktion unserer Gruppe$(\mathscr{T},\,\circ)$muss eine lineare Aktion sein: let$Y=f(T\,X)$stehen für: "der affine Raumzeit-Koordinatenvektor$Y$ist das Bild des affinen Raumzeit-Koordinatenvektors$X$unter der Aktion$f$der Verwandlung$T\in\mathscr{T}$auf affinen Koordinaten". Homogenität besagt, dass unsere Transformationen ihre Form nicht ändern können, wenn wir unsere Koordinaten entweder in Raum oder Zeit übersetzen: "Der Natur ist es egal, wo wir unseren Ursprung setzen". Also für jede Transformation$T\in\mathscr{T}$, ein beliebiger Raumzeit-Koordinatenvektor$X$und jede Verschiebung$Z$in Raum und Zeit müssen wir haben$f(T,\,X+Z)-f(T,\,Z) = f(T,\,X)-f(T,\,0)$: der Vektor, der die Bilder des Ursprungs verbindet$0$Und$X$bleibt unverändert, wenn beide Enden durch die Verschiebung verschoben werden$Z$. Wenn Sie jetzt definieren$h_T(U) = f(T,\,U)-f(T,\,0)$, das kann man schnell zeigen$h_T(X+Y)=h_T(X)+h_T(Y)$für alle affinen Raumzeitkoordinaten$X,\,Y$. Dies ist die berühmte Cauchy-Funktionsgleichung in$\mathbb{R}^{3+1}$und Sie können zeigen, dass die einzige stetige Lösung ist$h_T(X) = A_T\,X$, für einige$4\times4$Matrix$A_T$Charakterisierung der Koordinatentransformation.

Ich denke, die Antwort von udrv trifft den Nagel auf den Kopf, aber ich werde die intuitive Betrachtungsweise ein wenig erweitern.

In Ihrem Beispiel haben Sie ein Schiff, das die Erde verlässt und mit relativistischer Geschwindigkeit auf Neptun zufliegt. Während Sie vielleicht denken, dass sich das Schiff schnell bewegt und die Erde im Wesentlichen still steht (obwohl sich die Erde in Wahrheit um die Sonne und um die Milchstraße bewegt und die Milchstraße selbst sich bewegt, und die spezielle Relativitätstheorie keine Änderung der Geschwindigkeit bewältigt hat überhaupt, aber das können wir jetzt ignorieren). Hier ist das Ding. Ein sich bewegendes und ein stillstehendes Objekt ist nicht, wie man die Dinge in der speziellen Relativitätstheorie betrachten sollte. Zur Erde bewegt sich das Schiff mit sagen wir mal 1/2 Lichtgeschwindigkeit weg und per Definition bewegt sich die Erde zum Schiff mit 1/2 Lichtgeschwindigkeit weg. In einem 2-Körper-System (Erde und Schiff) kann keiner sehen, wie sich der andere schneller wegbewegt, als der andere sieht, wie er sich wegbewegt, weil, einfach ausgedrückt, in einem 2-Körper-System, beide könnten sich bewegen. Sie befinden sich in gespiegelten Situationen zueinander.

Was sich ändert, ist die Wahrnehmung von Neptun, weil die Erde Neptun als immer noch relativ zur Erde ansieht (wobei natürlich die Umlaufgeschwindigkeit ignoriert wird), aber das Schiff sieht sowohl Erde als auch Neptun als sich bewegend, also ist ihre Wahrnehmung von Neptun anders.

Es gibt zwei Szenarien, eines, Erde und Neptun bewegen sich von der Referenz des Raumschiffs weg, Erde vom Schiff weg, Neptun darauf zu, oder Szenario zwei, Erde und Neptun bewegen sich nicht und nur das Schiff bewegt sich. Beide Szenarien funktionieren.

Wenn sich das Schiff bewegt, wird der Raum vor ihm zusammengedrückt, sodass sich die Entfernung zwischen Erde und Neptun verringert. Wenn sich Erde und Neptun beide mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, ist die beobachtete Entfernung von Neptun von der Erde die, die Sie normalerweise erwarten würden.

Wenn Sie daran denken, die Uhr zu verlangsamen, ist es natürlich zu denken, dass die Geschwindigkeit höher erscheint, aber die Verlangsamung der Uhr entspricht dem Quetschen über die Entfernung, nicht dem Ansteigen der scheinbaren Geschwindigkeit.

Wenn Sie sich nun das Problem ansehen, „welcher Zeitrahmen der richtige ist“, nun, das sind sie beide, obwohl sie die Dinge unterschiedlich wahrnehmen. Dieses Bild erklärt irgendwie, was los ist.

(Quelle)

Die Tatsache, dass sowohl die Erde als auch das Schiff sehen, dass sich die Uhr des anderen langsam bewegt, ist ein bisschen paradox, das wird im Link erklärt.

Die wirklich kurze Antwort auf Ihre Frage lautet: Lehrbücher haben normalerweise Recht. Sehr gelegentlich findet man eines mit einem Fehler, etwa wenn es in Texas zum Thema alternative Ideen zur Evolution gedruckt wurde ;-), aber im Allgemeinen sind Lehrbücher korrekt.

Es ist aber eine gute Frage.