Leiten Sie die Geschwindigkeitsadditionsformel aus der Lorentz-Transformation ab

Da sind alle Geschwindigkeiten konstant ausgearbeitet$\frac{dx^{1}}{dx^{0}}$ist eine einfache Division (kein Kalkül erforderlich). Beachten Sie, dass die Einträge in Ihrem Vektor in$S$sind die Werte, die Sie interessieren:

Also haben wir:

Dividieren von Zähler und Nenner durch$d {x^0}'$wir haben:

Bei dem die$-$Zeichen, die sich von der Standardformel unterscheiden, liegt daran, dass Ihre beiden Geschwindigkeiten in die gleiche Richtung weisen.

Sie hatten das Problem so ziemlich selbst gelöst, Sie hatten es nur nicht bemerkt!

Wenn Sie zwei Vektoren haben, können Sie einen auf den anderen projizieren. Wenn Sie einen Raumzeitvektor orthogonal auf Ihre Einheitstangente projizieren, dann ist die Länge dieser Projektion die Zeit, die Sie beobachten, um die beiden Ereignisse zu trennen. Das könnte ausreichen, um Ihre Frage genau dort zu beantworten.

Um also eine durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Ereignissen zu erhalten, berechnen Sie zuerst den Vektor A zwischen den beiden Ereignissen. Dann projizieren Sie dieses A auf Ihre Einheitstangente W, um die Projektion P zu erhalten. Dann ist der Vektor A gleich P+R mit der Zurückweisung R orthogonal zur Projektion P. Wir erhalten R aus R=AP. Und wenn wir R durch die Länge von P dividieren, erhalten wir die Geschwindigkeit von A relativ zu W. Alles, was ich getan habe, war, alles in Bezug auf die Geometrie zu schreiben, sodass die Basis keine Rolle spielte. Machen wir es auf einer netten Basis, damit wir sehen, was vor sich geht.

Sei W=(1,0,0,0), das ist die Basis, die die Dinge gut aussehen lässt, der sich mitbewegende Rahmen von W. Wenn also die Differenz zwischen den beiden Ereignissen A=(a,b,c,d) ist, dann ist die Projektion ist (a,0,0,0), also ergibt die Subtraktion (0,b,c,d) und da die Zeit zwischen ihnen ist$a=\sqrt{(a,0,0,0)\cdot(a,0,0,0)}$wir erhalten die Geschwindigkeit ist (0,b,c,d)/a. die eine Geschwindigkeit hat, die ihrer Länge entspricht$\sqrt{(b^2+c^2+d^2)/a^2}.$

Wenn also der Vektor (a,b,c,d) ist und Ihr Einheitstangens (1,0,0,0) ist, dann ist die Projektion (a,0,0,0), also ergibt die Subtraktion (0,b, c,d) und somit ist die beobachtete Geschwindigkeit (0,b,c,d)/a. Das mag schmerzhaft einfach erscheinen. Aber das gleiche gilt für jemanden, der sich wie (1,-v,0,0) bewegt, sie beobachten, wie Sie sich mit Geschwindigkeit bewegen$v$und Sie beobachten, wie sich jemand wie (1,u,0,0) mit der Geschwindigkeit u bewegt. Wie sieht also der Linke den Rechten? Projizieren, subtrahieren und dividieren (in der geometrischen Algebra ist dies im Grunde ein Schritt).

Erster Schritt: Projizieren Sie das Rechte auf das Linke. (1,u,0,0)$\cdot$(1,-v,0,0) (1,-v,0,0)/$(1-v^2)$(das ist$\vec a\cdot \vec b \vec b / (\vec b\cdot \vec b)$zu projizieren$\vec a$auf zu$\vec b$). Also bekommen wir$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0).

Nächster Schritt: Subtrahieren Sie diese Projektion. (1,u,0,0)-$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0) =

($\frac{1-v^2-1-uv}{1-v^2}$,$\frac{u-v^2u+v+v^2u}{1-v^2}$,0,0)

= ($\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0).

Dies ist ein Vektor orthogonal zu (1,-v,0,0), genau wie (0,b,c,d) orthogonal zu (1,0,0,0) war.

Lassen Sie uns prüfen (1,-v,0,0)$\cdot$($\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0)=$\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$-(-v)$\frac{u+v}{1-v^2}$=0. Überprüfen.

Die Person auf der linken Seite denkt, dass die Person auf der rechten Seite P= gereist ist$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0) in der Zeit (was für die Person links eine reine Zeitrichtung ist) und eine räumliche Verschiebung ($\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0) (was für die Person auf der linken Seite eine reine räumliche Richtung ist.) Wir konnten überprüfen, ob sie sich zur vollen Raumzeitverschiebung addieren, aber wir haben eine durch Subtrahieren der anderen erhalten. Und wir kennen die endgültige Antwort, sodass wir unsere Arbeit nicht ständig überprüfen müssen.

Lassen Sie uns also die Länge dieser Zeitverschiebung finden (dies ist das Finden von a). Wir wollen die Länge von P=$\frac{1+uv}{1-v^2}$(1,-v,0,0) was ist$\frac{1+uv}{\sqrt{1-v^2}}.$Also dividieren wir dadurch, um den relativen Geschwindigkeitsvektor zu erhalten.

Letzter Schritt: Teilen. Die Relativgeschwindigkeit ist$\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+uv}(\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0).

Vereinfachen:$\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+uv}(\frac{-v^2-uv}{1-v^2}$,$\frac{u+v}{1-v^2}$,0,0) =

$\frac{u+v}{(1+uv)\sqrt{1-v^2}}$(-v,1,0,0) mit der Länge (Geschwindigkeit) (u+v)/(1+uv).