Wie würde ich Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} mit der Lorentz-Boost-Matrix in Beziehung setzen?

I. Um die Matrixform zu erhalten, die Sie aus den infinitesimalen Transformationen zitieren, müssen Sie:

1. Beginnen Sie mit der Lorentz-Transformation, wie sie zB im Wikipedia-Artikel zu finden ist .
2. Schreiben Sie die infinitesimale Form dieser Transformationen. ZB für einen Schub in der$x^1$Richtung, die Sie haben $$\tag{1-1} x'^0 = x^0 + \beta x^1 + \mathcal{O}(\beta^2),$$ $$\tag{1-2} x'^1 = x^1 + \beta x^0 + \mathcal{O}(\beta^2).$$ Dies entspricht der Annäherung $$\tag 2 \Lambda^\mu_{\,\,\nu} \approx \delta^\mu_{\,\,\nu} + \omega^\mu_{\,\,\nu},$$ wo wir gerade die verwendet haben$\delta$um die Identitätskomponente der Transformation anzuzeigen, und definiert $\omega$als linearisierter Teil der Transformation. Im obigen Beispiel hätten wir: $$\tag 3 \omega^0_{\,\,1} = \omega^1_{\,\,0} = \beta, \quad \omega^\mu_{\,\,\nu}=0 \text{ otherwise}.$$
3. Stellen Sie sich die Lorentz-Transformation vor$\Lambda$als zusammengesetzt aus einem Unendlichen (sagen wir$N \gg 1$) Folge von infinitesimalen Transformationen der Form (2) mit Parameter$\omega/N$. Dann hast du $$\tag 4\Lambda = \left( 1 + \omega/N \right)^N \rightarrow e^\omega, \,\, N \to \infty.$$ Schließlich potenzieren Sie die$\omega$Sie in Schritt 2 gefunden haben, um Ihr Ergebnis zu erhalten.

II. Beachten Sie, dass die Formel, die Sie im Titel zitiert haben (V1),

$$\tag 5 \Lambda^a_{\,\,b} = \left[ \exp\left(-\frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu} \right) \right]^a_{\,\,b} \approx \delta^a_{\,\,b} - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} (J^{\mu\nu})^a_{\,\,b},$$ gilt aus allgemeineren Gründen (für eine generische, modulo mathematische Feinheit, Darstellung der Lorentz-Gruppe). Um die hier betrachtete Vektordarstellung zu erhalten, müssen Sie die entsprechenden Generatoren verwenden $J^{\mu\nu}$, die in diesem Fall sind $$\tag 6 (J^{\mu\nu})^{\rho\sigma} = i ( \eta^{\mu\rho} \eta^{\nu\sigma} - \eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\rho} ).$$ Um zu sehen, dass dies mit (2) konsistent ist , betrachten Sie die folgende Berechnung: $$\tag 7 \Lambda^\rho_{\,\,\sigma} = \delta^\rho_{\,\,\sigma} - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} (J^{\mu\nu})^\rho_{\,\,\sigma} = \delta^\rho_{\,\,\sigma} + \frac{1}{2} \omega_{\mu\nu} (\eta^{\mu\rho} \delta^\nu_{\,\,\sigma} - \eta^{\mu\sigma} \delta^\nu_{\,\,\rho}) = \delta^\rho_{\,\,\sigma} + \omega^\rho_{\,\,\sigma},$$ wobei wir (6) in (5) verwendet haben, um (2) wieder zu erhalten .

Weitere Einzelheiten zu den verschiedenen Darstellungen der Lorenzt-Gruppe finden Sie in diesem Phys.SE-Beitrag .

Der Weg von der Exponentialform zur allgemeinsten Lorentz-Transformation kann eine äußerst langwierige Berechnung sein. Im Prinzip bleibt nichts anderes übrig, als die Exponentialfunktion einer gegebenen Matrix explizit zu berechnen. Ich würde vorschlagen, dass Sie versuchen, jeden Generator zu reparieren und sich ein Bild von der Transformation zu machen, die er erzeugt. Legen Sie zum Beispiel fest, dass die 1-2-Komponente ein bestimmter Parameter ist$\psi$und lassen Sie alle anderen Komponenten aus$\omega$Null sein, dh

$$\omega_{12} = \psi,\qquad\omega_{ij} = 0,\quad\forall 1<i<j\leq4,$$ und berechnen $$e^{-i\psi J^{12}}.$$