Heuristische Herleitung von Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} unter Verwendung einer Kombination aus physikalischen und mathematischen Argumenten

Die intuitive Bedeutung des Vierervektors von Pauli-Lubanski ist für massive Teilchen leicht erklärt.

Für ein massives Teilchen gibt es ein Bezugssystem, das mit ihm ruht. In diesem Bezugsrahmen die vier Impulse$P_a$hat nur seine zeitliche Komponente$a=0$mit Wert$m$. In diesem Referenzrahmen sehen Sie das, wenn Sie sich die Formel ansehen, die Sie geschrieben haben$W^a$hat nur drei nichtverschwindende Komponenten$a=1,2,3$mit der offensichtlichen Bedeutung des Drehimpulses in Ruhe mit dem Teilchen (multipliziert mit der Masse), wenn Sie die Bedeutung von nehmen$J_{0a}=-J_{a0}$berücksichtigen. Der Wert von$W_aW^a$ist unabhängig vom Bezugssystem, kann also im Ruhezustand mit der Teilchenerzeugung berechnet werden$m^2$mal dem Quadrat des Drehimpulses in Ruhe mit dem Teilchen: die quadrierten Spinzeiten$m^2$.

Da die Aktion der Poincaré-Gruppe von den Generatoren der Gruppe infinitesimal umgesetzt wird, ist die Tatsache, dass$W_aW^a$eine Invariante ist bedeutet nur, dass sie mit allen Erzeugern der Gruppe kommutiert, also ein Casimir-Operator ist.

Die Schätzung basiert auf der Anforderung der Translationsinvarianz. Wirklich,$J_{\mu\nu}$pendelt nicht mit dem Übersetzungsoperator$P_{\mu}$. Das bedeutet, dass die Kandidaten$J_{\mu\nu}J^{\mu\nu}$,$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}J_{\mu\nu}J_{\alpha\beta}$zur Rolle des Casimir-Operators sind nicht translationsinvariant.

Um den translationsinvarianten Casimir-Operator zu konstruieren, können wir definieren$C = W_{\mu...}W^{\mu...}$, Wo$W_{\mu...}$ist ein translationsinvarianter Operator. Der einzig mögliche Kandidat (seit$[P_{\mu},P_{\nu}] = 0$) Ist