Lügengruppenkompaktheit von Generatoren

Wie Cosmas Zachos in den Kommentaren andeutet, gehört eine nicht-Abelsche Lie-Algebra in ihrer Killing-Form zu einer kompakten Lie-Gruppe $K(X;Y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_X\circ \mathrm{ad}_Y)$ist negativ-definit, vgl. auch kompakte Lie-Algebra , wo Sie eine vollständige Liste aller kompakten Lie-Algebren finden können. Der Grund dafür ist, dass eine nicht degenerierte Killing-Form eine Levi-Civita-Verbindung induziert$\nabla_X Y = \frac{1}{2}[X,Y]$auf der Lie-Gruppe mit Ricci-Krümmung$-\frac{1}{4}K(X,Y)$, die nach unten beschränkt ist, wenn die Killing-Form negativ-definit ist und daher die Lie-Gruppe nach Bonnet-Myers kompakt ist . Beachten Sie, dass eine negativ-semidefinite Killing-Form, dh eine, die degeneriert ist, zu einer kompakten Lie-Gruppe gehören kann oder nicht.

(Dis)Connection hat nichts mit seiner zu tun - die Lorentz-Gruppe ist nicht kompakt und hat vier zusammenhängende Komponenten, aber bereits die Identitätskomponente, die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe, ist nicht kompakt. Kompaktheit und Verbundenheit sind unterschiedliche und voneinander unabhängige topologische Eigenschaften.

Es gibt bereits eine gute Antwort von ACuriousMind. Hier wollen wir einige wichtige Tatsachen betonen.

1. Es sei ein gegeben$n$-dimensionale reelle Lie-Algebra

   $$\mathfrak{g}~=~{\rm span}_{\mathbb{R}}\{t_a\mid a=1,\ldots, n\}, \tag{M1}$$ Wo$^1$ $$[t_a,t_b] ~=~\underbrace{f_{ab}{}^{c}}_{\in\mathbb{R}}~ t_c.\tag{M2}$$

2. Nehmen wir an, dass die$t_a$sind die Erzeuger einer getreuen endlichdimensionalen linearen Darstellung der Lie-Algebra, vgl. Satz von Ado .

3. Der dritte Satz von Lie (genauer gesagt der Satz von Lie-Cartan ) garantiert die Existenz einer entsprechenden zusammenhängenden und einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe $G$, so dass seine Lie-Algebra ist$\mathfrak{g}$. In einer Umgebung der Identität wird die Lie-Gruppe durch die Exponentialkarte rekonstruiert

   $$\exp(\mathfrak{g})~\subseteq~ G \tag{M3}.$$

4. Wenn die echte Lie-Algebra$\mathfrak{g}$halbeinfach ist , hat es eine Cartan-Zerlegung

   $$\mathfrak{g}~=~\mathfrak{k}+\mathfrak{p}.\tag{M4}$$ Dann$K/Z_G$ist kompakt u$\exp(\mathfrak{p})$nicht kompakt, vgl. Wikipedia .

5. Die Theorie der reinen Lie-Gruppen/Algebra führt den Begriff der hermiteschen Konjugation nicht ein . Diese zusätzliche Struktur ist jedoch in der Physik häufig vorhanden. Wenn$t_a=-t^{\dagger}_a$ist antihermitisch, entspricht einer kompakten Richtung; während wenn$t_a=t^{\dagger}_a$hermitesch ist, entspricht sie einer nicht-kompakten Richtung.

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$^1$Beachten Sie, dass es in einem Großteil der physikalischen Literatur einen zusätzlichen Faktor der imaginären Einheit gibt$i$an verschiedenen Orten, z