Integrieren von Elementen einer Lie-Gruppe bezüglich Parametern der entsprechenden Lie-Algebra

Question

Integrieren von Elementen einer Lie-Gruppe bezüglich Parametern der entsprechenden Lie-Algebra

MrMuellerMaestro

Ich arbeite mit einem Operator zusammen $\textbf{M}$ das wird durch die Lie-Gruppe SO (1,3) dargestellt, daher kann es geschrieben werden als

M = \exp L

$\textbf{M} = \exp{\textbf{L}}$ Wo,

L = [\begin{matrix} 0 & A & B & C \\ A & 0 & D & e \\ B & - D & 0 & F \\ C & - e & - F & 0 \end{matrix}] .

$\textbf{L} = \begin{bmatrix} 0&a&b&c\\ a&0&d&e\\ b&-d&0&f\\ c&-e&-f&0 \end{bmatrix}.$ Ich muss mich integrieren

M

$\textbf{M}$ in Bezug auf einen oder mehrere der Parameter von

L

$\textbf{L}$ , Zum Beispiel,

B = \int_{0}^{T} M D A

$\textbf{B}=\int_{0}^{T}\textbf{M}\,da$ ist das Integral von

M

$\textbf{M}$ bezüglich des Differentialparameters

a

$a$ . Diese Integration kann komponentenweise durchgeführt werden als

B_{ich, J} = \int_{0}^{T} M_{ich, J} D A

$B_{i,j}=\int_{0}^{T}M_{i,j}\,da$ Aber die analytische Form von

M

$\textbf{M}$ ist sehr umständlich zu bearbeiten, wenn alle Parameter von

L

$\textbf{L}$ sind ungleich Null. Es fällt mir sehr schwer, analytische Lösungen für die Elemente von zu erhalten

B

$\textbf{B}$ in Bezug auf die Elemente von

L

$\textbf{L}$ . Ist es möglich, die Integration der Lie-Algebra vor der Exponentialkarte durchzuführen? Oder gibt es Vereinfachungen, die sich aus der Kenntnis der Gruppensymmetrie ergeben? Ich habe lange gesucht, aber keine Möglichkeit gefunden, die Integration in Bezug auf zu schreiben

L

$\textbf{L}$ direkt.

Martin Üding

Wenn Sie dies komponentenweise tun, wird die Integration möglicherweise vereinfacht, aber ich glaube nicht, dass es einen direkten Weg gibt, die Komponenten aus der Exponentialkarte zu entfernen. Sind die Parameter so eingestellt, dass eine gewisse Leistung aus

L

$L$ wird einfacher? Dann könnte sich eine Erweiterung des Exponentials lohnen (es ist z

S U (2)

$\mathrm{SU}(2)$ mit

σ_{1}

$\sigma_1$ zum Beispiel).

Mike

Ich verstehe das Integral nicht. Sind

b

$b$ ,

c

$c$ ,

d

$d$ ,

e

$e$ ,

f

$f$ gegeben als Funktionen von

a

$a$ ? Sind sie konstant bzgl

a

$a$ ? Und hat AccFoTr Recht mit der Behauptung, dass dies eine Lie-Gruppe mit einem Parameter ist? (Ist es wirklich ein Homomorphismus?)

Mike

In diesem Zusammenhang bin ich gerade dabei, ein Papier zum arxiv über die Integration in die Gruppe zu veröffentlichen

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ , wobei eine Methode, die ich anwende, darin besteht, sie auf eine Integration in der Algebra zurückzubilden

s o (3)

$\mathfrak{so}(3)$ . Ich spreche auch über Verallgemeinerungen zu anderen Gruppen, aber ich bin mir nicht sicher (abhängig von Ihren Antworten auf meine obigen Fragen), dass es hilfreich wäre, wenn Sie nach analytischen Ergebnissen suchen.

QMechaniker

In Anlehnung an den obigen Kommentar von @ Mike: Wenn

b

$b$ ,

c

$c$ ,

d

$d$ ,

e

$e$ ,

f

$f$ sind von der Integrationsvariablen unabhängige Konstanten

a

$a$ , dann hat das Integral von OP die Form

\int_{0}^{T} d a \exp [L_{0} + a L_{1}]

$\int_0^T \! da \exp\left[\textbf{L}_0 + a \textbf{L}_1 \right]$ , wo die beiden

a

$a$ -unabhängige konstante Matrizen

L_{0}

$\textbf{L}_0$ Und

L_{1}

$\textbf{L}_1$ pendeln im Allgemeinen nicht , daher sollte im Allgemeinen keine einfache Formel erwartet werden .

AccidentalFourierTransform

@Mike Ich habe keine Ahnung, woran ich gedacht habe! für fest

b, c, d, e, f

$b,c,d,e,f$ , SO(1,3) ist keine Ein-Parameter-Gruppe bzgl

a

$a$ . Meine Antwort war offensichtlich falsch! [Beachten Sie zum Beispiel, dass die Generatoren nicht einmal umkehrbar sind, also

ϕ^{' - 1} (0)

$\phi'^{-1}(0)$ ist nicht definiert...]

Antworten (1)

Integrieren von Elementen einer Lie-Gruppe bezüglich Parametern der entsprechenden Lie-Algebra

Wenn Sie dies komponentenweise tun, wird die Integration möglicherweise vereinfacht, aber ich glaube nicht, dass es einen direkten Weg gibt, die Komponenten aus der Exponentialkarte zu entfernen. Sind die Parameter so eingestellt, dass eine gewisse Leistung aus $L$ wird einfacher? Dann könnte sich eine Erweiterung des Exponentials lohnen (es ist z $\mathrm{SU}(2)$ mit $\sigma_1$ zum Beispiel).
Ich verstehe das Integral nicht. Sind $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ gegeben als Funktionen von $a$ ? Sind sie konstant bzgl $a$ ? Und hat AccFoTr Recht mit der Behauptung, dass dies eine Lie-Gruppe mit einem Parameter ist? (Ist es wirklich ein Homomorphismus?)
In diesem Zusammenhang bin ich gerade dabei, ein Papier zum arxiv über die Integration in die Gruppe zu veröffentlichen $\mathrm{SO}(3)$ , wobei eine Methode, die ich anwende, darin besteht, sie auf eine Integration in der Algebra zurückzubilden $\mathfrak{so}(3)$ . Ich spreche auch über Verallgemeinerungen zu anderen Gruppen, aber ich bin mir nicht sicher (abhängig von Ihren Antworten auf meine obigen Fragen), dass es hilfreich wäre, wenn Sie nach analytischen Ergebnissen suchen.
In Anlehnung an den obigen Kommentar von @ Mike: Wenn $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ sind von der Integrationsvariablen unabhängige Konstanten $a$ , dann hat das Integral von OP die Form $\int_0^T \! da \exp\left[\textbf{L}_0 + a \textbf{L}_1 \right]$ , wo die beiden $a$ -unabhängige konstante Matrizen $\textbf{L}_0$ Und $\textbf{L}_1$ pendeln im Allgemeinen nicht , daher sollte im Allgemeinen keine einfache Formel erwartet werden .
@Mike Ich habe keine Ahnung, woran ich gedacht habe! für fest $b,c,d,e,f$ , SO(1,3) ist keine Ein-Parameter-Gruppe bzgl $a$ . Meine Antwort war offensichtlich falsch! [Beachten Sie zum Beispiel, dass die Generatoren nicht einmal umkehrbar sind, also $\phi'^{-1}(0)$ ist nicht definiert...]

Kosmas Zachos · Answer 1

Entschuldigen Sie, dass Sie keine allgemeinste Antwort für beliebige Lie-Gruppen erstellt haben (die Sie mit großem Aufwand aus WP herauskitzeln könnten ), sondern nur eine Wanderkarte für Ihr spezielles (bezaubertes!) Problem.

Ich nenne es verzaubert, weil es Sie an die Lorentz-Gruppe erinnern sollte, mit a ,b,c, die Kx,Ky,Kz- Boosts und d,e,f die drei J- Rotationswinkel parametrisiert. Anständige Behandlungen der Darstellungen der Lorentz-Gruppe für den Anfang würden Sie daran erinnern, dass Sie lineare Kombinationen der K s und J s nehmen können, die miteinander pendeln, und dann ist Ihre Exponentialfunktion wirklich das direkte Produkt von zwei Exponentialfunktionen, $\exp({\bf \theta \cdot A}) \otimes \exp ({\bf \phi \cdot B})$ jeweils in einer 2x2-komplexisierten Wiederholung, mit θ und φ schrecklich komplexen Winkeln, auf die Sie Ihre 6 Winkel abbilden sollen. Sobald Sie dies jedoch getan haben, da exponentielle Pauli-Matrizen eine Standardauflösung haben, die in Pauli-Matrizen linear ist, ist Ihr Integral nachvollziehbar – und, was interessanter ist, als direktes Produkt von Exponentialen ausdrückbar, wodurch Sie Ihre Schritte als Exponential umkehren einer 4x4-Matrix, falls gewünscht.

Es mag viel Arbeit sein, aber es ist einfach. (Versuchen Sie es zuerst mit allen verschwindenden Parametern außer a und f : Sie haben ${\bf M}=\exp(a \sigma_1,~ if\sigma_2)$ in den zwei trennbaren 2x2-Blöcken; Sie können dann sehen, dass der zweite Block herausgerechnet wird und von der Integration unbeeinflusst bleibt, während der erste nicht betroffen ist und das Integral von M somit ist ${\bf B}=\int {\bf M}=\exp(\frac{T}{2} \sigma_1 +1\!\!1 \log(2 \sinh(T/2)),~ if\sigma_2)$ .) Es könnte auch ein raffiniertes physikalisches Argument im Wigner-Rotationsstil geben , aber es könnte genauso viel Zeit in Anspruch nehmen.

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MrMuellerMaestro

Martin Üding

Mike

Mike

QMechaniker

AccidentalFourierTransform

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Kosmas Zachos

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