Wie ist die Beziehung zwischen SL(2,C)SL(2,C)SL(2,\mathbb{C}), SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU(2)\ mal SU(2) und SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)?

Hier sind meine zwei Cent wert.

Warum Lügenalgebren?

Zuerst werde ich nur über Lie-Algebren sprechen . Diese erfassen fast alle Informationen über die zugrunde liegende Gruppe. Die einzige Information, die weggelassen wird, sind die diskreten Symmetrien der Theorie. Aber in der Quantenmechanik behandeln wir diese normalerweise getrennt, also ist das in Ordnung.

Die Lorentz-Lügen-Algebra

Es stellt sich heraus, dass die Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe isomorph zu der von ist$SL(2,\mathbb{C})$. Mathematisch schreiben wir dies (unter Verwendung der Fraktur-Schriftart für Lie-Algebren)

$$\mathfrak{so}(3,1)\cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

Das macht seither Sinn$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ist nicht kompakt, genau wie die Lorentz-Gruppe.

Situation darstellen

Wenn wir Quantenmechanik betreiben, wollen wir, dass unsere Zustände in einem Vektorraum leben, der eine Darstellung für unsere Symmetriegruppe bildet. Wir leben in einer realen Welt, also sollten wir reale Darstellungen in Betracht ziehen$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.

Ein wenig Nachdenken wird Sie von Folgendem überzeugen.

Tatsache : Reelle Darstellungen einer Lie-Algebra stehen in Eins-zu-Eins-Korrespondenz (Bijektion) mit komplexen Darstellungen ihrer Komplexbildung .

Das klingt ziemlich technisch, ist aber eigentlich einfach. Es sagt nur, dass wir komplexe Vektorräume für unsere quantenmechanischen Zustände haben können! Das heißt, vorausgesetzt, wir verwenden komplexe Koeffizienten für unsere Lie-Algebra$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$.

Wenn wir komplexisieren$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$wir erhalten eine direkte Summe von zwei Kopien davon. Mathematisch schreiben wir

$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})_{\mathbb{C}} = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

Also wo tut$SU(2)$Komm herein?

Wir suchen also nach komplexen Darstellungen von$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. Aber diese stammen nur aus einem Tensorprodukt zweier Darstellungen von$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$. Diese sind normalerweise mit einem Zahlenpaar gekennzeichnet

$$|\psi \rangle \textrm{ lives in the } (i,j) \textrm{ representation of } \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

Also, was sind die möglichen Darstellungen von$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$? Hier können wir unsere Tatsache wieder verwenden. Es stellt sich heraus, dass$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ist die Komplexierung von$\mathfrak{su}(2)$. Aber wir wissen, dass die realen Darstellungen von$\mathfrak{su}(2)$sind die Spindarstellungen!

Also wirklich die Zahlen$i$und$j$Kennzeichnen Sie den Drehimpuls und den Spin von Teilchen. Aus dieser Perspektive sieht man, dass der Spin eine Folge der speziellen Relativitätstheorie ist!

Was ist mit Kompaktheit?

Diese gewundene Reise zeigt Ihnen, dass die Dinge nicht wirklich so einfach sind, wie Ryder es sich vorstellt. Da hast du vollkommen recht

$$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2) \neq \mathfrak{so}(3,1)$$

da die LHS kompakt ist, die RHS jedoch nicht! Aber meine obigen Argumente zeigen, dass Kompaktheit keine Eigenschaft ist, die die Komplexitätsprozedur überlebt. Es ist meine obige "Tatsache", die alles zusammenhält.

Interessanterweise hat man das in der euklidischen Signatur

$$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(4)$$

Sie wissen vielleicht, dass QFT über die Wick-Rotation eng mit der statistischen Physik verwandt ist. Diese Beobachtung zeigt also, dass Ryders intuitive Geschichte gut ist, auch wenn seine mathematische Behauptung ungenau ist.

Lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Hilfe benötigen!

Erstens, welches Buch ist das? Es hilft sehr, wenn ich es selbst nachschlagen kann.

Es ist sehr wahrscheinlich, dass, wenn er sagt$\mbox{SO}(1,3)$[oder$\mbox{SO}(3,1)$!] das meint er$\mbox{SO}(1,3)_\uparrow$, was absolut nicht dasselbe ist! Aber die meisten Menschen sind diesbezüglich sehr faul.

Hier wählen Sie die Region aus$\mbox{O}(1,3)$pfadverbunden mit dem Identitätselement, wo$\mbox{O}(1,3)$besteht aus vier getrennten Regionen, die mit gekennzeichnet sind

$$\det(L) = \pm1$$

und

$$L^{00} > 1 \space \mbox{ or } \space L^{00} < -1$$

Dann haben wir

$$(\mbox{SU}(2) \times \mbox{SU}(2))/ \mathbb{Z_2} \simeq \mbox{SO}(4)$$

Sie können dies zeigen, indem Sie die Wirkung jedes einzelnen betrachten$\mbox{SU}(2)$und$\mbox{SO}(4)$auf 2-komplexdimensionalen bzw. 4-dimensionalen Vektoren. Das wirst du finden

$$(x^1)^2 + (y^1)^2 + (x^2)^2 + (y^2)^2 = 1$$

und

$$(x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2 + (x^4)^2 = 1$$

bzw. bis zur Normalisierung. Hier müssen wir quotieren$\mathbb{Z_2}$da wir nur die wollen$U \in \mbox{SU}(2)$welche haben

$$\det(U) = 1$$

Dann$\mbox{SO}(4)$ist zum euklidischen Raum wie$\mbox{SO}(1,3)$entspricht dem Minkowski-Raum (unter Verwendung der russischen Metrik). Deshalb sagt er das$\mbox{SO}(1,3)$ist wesentlich $\mbox{SU}(2) \times \mbox{SU}(2)$, scheut aber davor zurück, ersteres für letzteres zu erklären ( was eine falsche Aussage wäre).

Als nächstes müssen Sie sich daran erinnern$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$ist der reelle Teil der Komplexbildung von$\mbox{SU}(2) \times \mbox{SU}(2)$. Das ist,$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$ist eine doppelte Abdeckung von$\mbox{SU}(2)$. Dies liegt daran, dass Sie, wenn Sie komplexieren und dann die Realteile nehmen, zwei Kopien von erhalten$\mbox{SU}(2)$. Denken Sie an die Art und Weise, wie wir 'komplexisieren'$\mathbb{R}$und bekomme$\mathbb{C}$, und wir wissen, dass wir immer schreiben können, z$z \in \mathbb{C}$

$$z = x + i y$$

wo$x, y \in \mathbb{R}$. Also, wenn wir die echten Teile genommen haben$\mathbb{C}$Wir würden zwei Exemplare davon bekommen$\mathbb{R}$, das$x$und die$y$,

$$\mathbb{C} \simeq \mathbb{R^2}$$

Das Gleiche können wir mit Lie-Algebren machen, da sie doch nur Vektorräume sind, genau wie$\mathbb{R}$und$\mathbb{C}$sind (allerdings vielleicht etwas weniger trivial!).