Rotationsgruppe und Lorentz-Gruppe

Man kann die einbetten$3\times3$Rotationsmatrizen

$$R~\in~ SO(3)~:=~\{R\in{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid R^tR~=~{\bf 1}_{3\times 3}~\wedge~ \det(R)=1 \}$$

in die$4\times4$Lorentz-Matrizen

$$\Lambda~\in~ O(1,3)~:=~\{\Lambda\in{\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{R}) \mid\Lambda^t\eta \Lambda~=~\eta \}$$

als

$$SO(3)~\ni~R~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~ \Lambda ~=~ \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \cr 0 &R \end{array} \right]~\in~ O(1,3).$$

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass diese Einbettung $\Phi:SO(3)\to O(1,3)$ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus

$$\Phi(R_1 R_2)=\Phi(R_1)\Phi(R_2), \qquad R_1,R_2~\in~SO(3).$$

Die zugehörigen Gruppenoperationen sind für beide Gruppen nur Matrixmultiplikationen.

Ja, dies ist ein Ergebnis, das rigoros wie folgt angegeben wird: Es gibt eine richtige Untergruppe von$O(1,3)$isomorph zu$SO(3)$. Es besteht aus der Menge der Lorentz-Transformationen der Form:

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & R(3) \end{array}\right)$$

Wo$R(3)\in SO(3)$,

zusammen mit der internen Operation der Matrixmultiplikation. Warum ist das relevant? Nun, um zu beurteilen, dass einige relevante topologische Eigenschaften der Lorentz-Gruppe von der dreidimensionalen richtigen Rotationsgruppe geerbt werden.