Gibt es einen allgemeinen Satz, der besagt, warum die Exponentialkarte der eingeschränkten Lorentz-Gruppe surjektiv ist?

Kommentare zur Frage (v2):

1. Konsens in der Literatur scheint zu sein, dass die Surjektivität der Exponentialabbildung

   $$\tag{1}\exp: so(1,d;\mathbb{R}) \to SO^+(1,d;\mathbb{R})$$ für die eingeschränkte Lorentzgruppe für allgemeine Raumzeitdimensionen$D=d+1$hat keinen kurzen Beweis.

   • Der Fall$d=1$ist trivial.

   • Der Fall$d=2$kann über den Isomorphismus bewiesen werden$SO^+(1,2;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

   • Der Fall$d=3$kann über den Isomorphismus bewiesen werden$SO^+(1,3;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$, vgl. zB Wikipedia und dieser Phys.SE-Beitrag.

2. Schon die Exponentialkarte$\exp: sl(2,\mathbb{R}) \to SL(2,\mathbb{R})$ist nicht surjektiv, vgl. zB diese MO.SE-Antwort und dieser Phys.SE-Beitrag. Beachten Sie, dass die Lie-Algebren

   $$\tag{2}so(1,2;\mathbb{R}) ~\cong~ sl(2,\mathbb{R})$$ sind isomorph, aber nur die Lie-Gruppe$SO^+(1,3;\mathbb{R})$denn die linke Seite des Isomorphismus (2) hat eine surjektive Exponentialabbildung; nicht die Lie-Gruppe$SL(2,\mathbb{R})$für die rechte Seite. Ein Gegenbeispiel wie (2) macht es zweifellos heikel, eine Verallgemeinerung von (1) über die eingeschränkten Lorentzgruppen hinaus zu formulieren$SO^+(1,d;\mathbb{R})$und Einzelfallnachweise. Siehe auch diesen Math.SE-Beitrag.

@Qmechanic: Ich glaube, es gibt Probleme mit Bakers Diskussion der Surjektivität in "Matrixgruppen". Hier ist ein Zitat aus den Vorlesungsunterlagen von Jean Gallier und Jocelyn Quaintance an der U Penn: ( http://www.seas.upenn.edu/~jean/diffgeom.pdf )

1) ist als A = PDP−1 diagonalisierbar, Satz 6.9 (und Satz 6.10) vermissen einige mögliche Eigenwerte und die Matrix P liegt nicht unbedingt in SO0(n,1) (wie der Fall n = 1 bereits zeigt). Für eine gründliche Analyse der Eigenwerte von Lorentz-Isometrien (und vieles mehr) sollte man Riesz [146] (Kapitel III) zu Rate ziehen.