Lie-Klammer für Lie-Algebra von SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Per Definition der metrische Tensor$\eta_{ij}$transformiert sich trivialerweise unter der definierenden Repräsentation von$SO(n,m)$.

$$\eta_{ij}=[D(g^{-T})]_{i}^{\ k}[D(g^{-T})]_{j}^{\ l}\eta_{kl} =[D(g^{-1})]^{k}_{\ i}[D(g^{-1})]^{l}_{\ j}\eta_{kl}$$ und das gilt für alle $g\in SO(n,m)$. Stellen Sie sich eine Ein-Parameter-Untergruppe der definierenden Wiederholung mit Matrizen vor $D(g)=e^{tJ}$wo $J^{i}_{\ j}$ist ein Element der Lie-Algebra und $t$ist ein reeller Parameter. Setzen Sie in die obige Gleichung ein, $$\eta_{ij}=[e^{tJ}]^{k}_{\ i}[e^{tJ}]^{l}_{\ j}\eta_{kl}$$ und differenzieren bzgl $t$bei der Identität $t=0$. $$0=J^{k}_{\ i}\delta^{l}_{\ j}\eta_{kl}+\delta^{k}_{\ i}J^{l}_{\ j}\eta_{kl} =J^{k}_{\ i}\eta_{kj}+J^{k}_{\ j}\eta_{ik}$$ Dies ist die Bedingung, der die Elemente der Lie-Algebra gehorchen müssen. Die Lie-Algebra-Elemente können durch ein antisymmetrisiertes Vektorpaar erzeugt werden $x^{i}$, $y^{j}$. $$J^{i}_{\ j}=x^{i}y_{j}-y^{i}x_{j}$$ wobei das Absenken durch den metrischen Tensor durchgeführt wird $x_{i}=\eta_{ij}x^{j}$. Die Lie-Algebra-Bedingung wird automatisch erfüllt, indem die Lie-Algebra-Elemente auf diese Weise erzeugt werden. Die Lie-Algebra-Elemente $J_{ab}$in der Frage werden nur durch die Auswahl der Vektoren gemacht $x$und $y$als Basisvektoren $x^{i}=\delta{^i}_{a}$, $y_{i}=\eta_{ij}\delta^{j}_{b}=\eta_{ib}$. $$[J_{ab}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{a}\eta_{jb}-\delta^{i}_{b}\eta_{ja}$$ Berechnen Sie nun den Kommutator (hoffentlich sind zwei verschiedene Verwendungen von eckigen Klammern nicht zu verwirrend), $$[J_{ab},J_{cd}]^{i}_{\ j}=[J_{ab}]^{i}_{\ k}[J_{cd}]^{k}_{\ j}-[J_{cd}]^{i}_{\ k}[J_{ab}]^{k}_{\ j}$$ und ein paar Zeilen einfacher Berechnung ergeben, $$[J_{ab},J_{cd}]^{i}_{\ j}=\eta_{bc}[J_{ad}]^{i}_{\ j}-\eta_{ac}[J_{bd}]^{i}_{\ j}-\eta_{bd}[J_{ac}]^{i}_{\ j}+\eta_{ad}[J_{bc}]^{i}_{\ j}$$ als Kommutator für die definierende rep. Die Lie-Algebra ist für alle Gruppenwiederholungen gleich. Die Frage fragt nach dem Kommutator für einen einheitlichen Repräsentanten der Gruppe. Dazu dient die einparametrige unitäre Untergruppe $D(g)=e^{itJ}$und so werden die Lie-Algebra-Elemente des definierenden Repräsentanten durch die Ersetzung als zu einem einheitlichen Repräsentanten gehörend neu definiert $J\rightarrow iJ$. Der Kommutator wird nun zu $$[iJ_{ab},iJ_{cd}]=\eta_{bc}iJ_{ad}-\eta_{ac}iJ_{bd}-\eta_{bd}iJ_{ac}+\eta_{ad}iJ_{bc}\\ -[J_{ab},J_{cd}]=i\eta_{bc}J_{ad}-i\eta_{ac}J_{bd}-i\eta_{bd}J_{ac}+i\eta_{ad}J_{bc}$$ Dies ist der Kommutator in der Frage, abgesehen von einem allgemeinen Vorzeichenwechsel. Dies lässt sich leicht beheben, indem die Definition der Lie-Algebra-Elemente der definierenden Wiederholung geändert wird in: $$[J_{ab}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{b}\eta_{ja}-\delta^{i}_{a}\eta_{jb} \ .$$

Hier skizzieren wir eine mögliche Herleitung.

1. Lassen$\eta\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$sei eine reelle symmetrische Signaturmatrix$(p,q)$, wo$n=p+q$.

2. Definiere die Lie-Gruppe

   $$O(p,q)~:=~ \{ \Lambda\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid \Lambda^T\eta \Lambda = \eta \},$$ wo$\Lambda^T$bezeichnet das Transponierte$\Lambda$Matrix. Beweisen Sie das zum Spaß$O(p,q)=O(q,p)$.

3. Beweisen Sie, dass wenn$\Lambda_1, \Lambda_2 \in O(p,q)$, dann das Matrixprodukt$\Lambda_1 \Lambda_2\in O(p,q)$.

4. Beweisen Sie, dass wenn$\Lambda \in O(p,q)$, dann die inverse Matrix$\Lambda^{-1} \in O(p,q)$.

5. Definiere die Lie-Algebra

   $$o(p,q)~:=~ \{ M\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid M^T\eta + \eta M = 0\}.$$

6. Beweisen Sie, dass wenn$M_1, M_2 \in o(p,q)$, dann der Matrixkommutator

   $$[M_1, M_2]~:=~M_1M_2-M_2M_1 ~\in ~o(p,q).$$

7. Wenn$O(p,q)\ni \Lambda= {\bf 1}_{n\times n}+ M$, wo$M\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$unendlich klein ist, beweisen Sie das$M\in o(p,q)$.

8. Generatoren definieren$J^{ij}= -J^{ji}\in{\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$wie

   $$(J^{ij})^k{}_{\ell}~:=~\eta^{ik}\delta^j_{\ell} - (i \leftrightarrow j).$$

9. Beweise das$J^{ij}\in o(p,q)$.

10. Beweise das

    $$[J^{ij},J^{k\ell}]~=~ \left(\eta^{jk}J^{i\ell} - (i \leftrightarrow j)\right) - (k \leftrightarrow \ell).$$

11. Die obige Konvention macht die Lie-Algebra$o(n)$die Menge der schiefsymmetrischen reellen Zahl$n\times n$Matrizen, die antihermitesch sind. Wenn Sie die Lie-Algebra möchten$o(n)$um stattdessen die Menge von Hermitian zu sein$n\times n$Matrizen, modifizieren Sie die obigen Definitionen mit geeigneten Faktoren der imaginären Einheit$i$.