Kopplungskoeffizienten in SO(4)

Question

Kopplungskoeffizienten in SO(4)

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
Drehimpuls
Gruppendarstellungen

okj

Ich habe zwei Gleichungen (von zwei verschiedenen Autoren) für die Zerlegung eines Kopplungskoeffizienten von SO(4) (dh Wigner 3j-Symbol für SO(4)). In der ersten:

{(\begin{array}{ccc} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ (l_{1}^{'}, N_{1}) & (l_{2}^{'}, N_{2}) & (l_{3}^{'}, N_{3}) \end{array})}_{S Ö (4)} = {(\begin{array}{ccc} l_{1} & l_{2} & l_{3} \\ l_{1}^{'} & l_{2}^{'} & l_{3}^{'} \end{array})}_{(S Ö (4) : S Ö (3))} (\begin{array}{ccc} l_{1}^{'} & l_{2}^{'} & l_{3}^{'} \\ N_{1} & N_{2} & N_{3} \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ \left(l'_1, N_1\right) & \left(l'_2, N_2\right) & \left(l'_3, N_3\right) \end{array} \right)_{SO(4)} = \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ l'_1 & l'_2 & l'_3 \end{array} \right)_{\left(SO(4):SO(3)\right)} \left( \begin{array}{ccc} l'_1 & l'_2 & l'_3 \\ N_1 & N_2 & N_3 \end{array} \right) \end{equation}$

Die linke Seite ist der Kopplungskoeffizient (Wigner) für SO(4) und die rechte Seite hat einen isoskalaren Faktor mit der Bezeichnung $SO(4):SO(3)$ , und ein normaler Wigner-Koeffizient für SO(3).

In der zweiten Gleichung faktorisiert der Autor den SO(4)-Kopplungskoeffizienten in das Produkt zweier SO(3)-Kopplungskoeffizienten als:

{(\begin{array}{ccc} (X_{1} Y_{1}) & (X_{2} Y_{X}) & (X Y) \\ (M_{X_{1}} M_{Y_{1}}) & (M_{X_{2}} M_{Y_{2}}) & (M_{X} M_{Y}) \end{array})}_{S Ö (4)} = (\begin{array}{ccc} X_{1} & X_{2} & X \\ M_{X_{1}} & M_{X_{2}} & M_{X} \end{array}) (\begin{array}{ccc} Y_{1} & Y_{2} & Y \\ M_{Y_{1}} & M_{Y_{2}} & M_{Y} \end{array})

$\left(\begin{array}{ccc}\left(X_1Y_1\right)&\left(X_2Y_x\right)&\left(XY\right)\\\left(M_{X_1}M_{Y_1}\right)&\left(M_{X_2}M_{Y_2}\right)&\left(M_XM_Y\right)\end{array}\right)_{SO(4)}=\left(\begin{array}{ccc}X_1&X_2&X\\M_{X_1}&M_{X_2}&M_X\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}Y_1&Y_2&Y\\M_{Y_1}&M_{Y_2}&M_Y\end{array}\right)$

In diesem Fall ist SO(4) das direkte Produkt zweier SO(3)s: $(X_1Y_1)\bigotimes(X_2Y_2)\rightarrow(XY)$

$\bf QUESTION$ : Ich möchte diese Gleichungen gleichsetzen und nach dem isoskalaren Faktor auflösen, aber ich bin verwirrt darüber, dass der erste Autor nur einen Skalar für die oberen Argumente verwendet, während der zweite Autor ein Tupel verwendet. Wie stimmen die Parameter der SO(4)-Kopplungskoeffizienten überein? (z. B. Gibt es einen Weg, um zu bekommen $X_1,Y_1$ aus $l_1$ ?)

$\bf SUPPLEMENTARY\ INFO$ :

Die erste Gleichung ist Gl. 4.6b von ftp://ftp.physics.uwa.edu.au/pub/Clebsch-Gordan/Papers/SO%28n%29.pdf

Die zweite Gleichung ist Gl. 22 von http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v51/i9/p093518_s1

Die Parameter der zweiten Gleichung sind wie folgt definiert:

$L_{rs}\equiv-i(x_r\partial_s-x_s\partial_r)$

$J_r\equiv\frac{1}{2}\varepsilon_{rst}L_{st}$ , $N_r\equiv L_{r4}$ , dh

\begin{array}{ccc} J_{1} = L_{23} & J_{2} = L_{31} & J_{3} = L_{12} \\ N_{1} = L_{14} & N_{2} = L_{24} & N_{3} = L_{34} \end{array}

$\begin{array}{ccc}J_1=L_{23}&J_2=L_{31}&J_3=L_{12}\\N_1=L_{14}&N_2=L_{24}&N_3=L_{34}\end{array}$

$X_k\equiv\frac{1}{2}(J_k+N_k)$
$Y_k\equiv\frac{1}{2}(J_k-N_k)$

$M_X=-X,...,X-1,X$
$M_Y=-Y,...,Y-1,Y$

okj

Ich habe eine Sache bemerkt, die helfen könnte, der Autor von Gl. 1 besagt: „Die kanonischen Basiszustände der symmetrischen (Klasse-Eins) irreduziblen Darstellung

l = l_{(n)}

$l=l_{(n)}$ für die Kette

S O (n) \supset S O (n - 1) \supset . . . \supset S O (3) \supset S O (2)

$SO(n)\supset SO(n-1)\supset...\supset SO(3)\supset SO(2)$ sind gekennzeichnet durch die

(n - 2)

$(n-2)$ -Tupel

M = (l_{(n - 1)}, N) = (l_{(n - 1)}, . . ., l_{(3)}, m_{(2)})

$M=(l_{(n-1)},N)=(l_{(n-1)},...,l_{(3)},m_{(2)})$ von ganzen Zahlen

l_{(n)} \geq l_{(n - 1)} \geq . . . \geq l_{(3)} \geq | m_{(2)} |

$l_{(n)}\geq l_{(n-1)}\geq ...\geq l_{(3)}\geq |m_{(2)}|$ ". Auch in seiner Notation hier glaube ich "SO(n) irreduzible Darstellung

l_{(n)} = l

$l_{(n)}=l$ [hat] SO(n-1) irrep Labels

l_{(n - 1)} = l^{'}

$l_{(n-1)}=l'$ ".

QMechaniker

Der erste FTP-Link funktioniert bei mir nicht. Der zweite Link befindet sich hinter einer Pay-Wall. Bitte verlinken Sie in Zukunft möglichst auf eine arXiv-Abstract-Seite, zB arxiv.org/abs/1006.2875

Antworten (1)

Kopplungskoeffizienten in SO(4)

Ich habe eine Sache bemerkt, die helfen könnte, der Autor von Gl. 1 besagt: „Die kanonischen Basiszustände der symmetrischen (Klasse-Eins) irreduziblen Darstellung $l=l_{(n)}$ für die Kette $SO(n)\supset SO(n-1)\supset...\supset SO(3)\supset SO(2)$ sind gekennzeichnet durch die $(n-2)$ -Tupel $M=(l_{(n-1)},N)=(l_{(n-1)},...,l_{(3)},m_{(2)})$ von ganzen Zahlen $l_{(n)}\geq l_{(n-1)}\geq ...\geq l_{(3)}\geq |m_{(2)}|$ ". Auch in seiner Notation hier glaube ich "SO(n) irreduzible Darstellung $l_{(n)}=l$ [hat] SO(n-1) irrep Labels $l_{(n-1)}=l'$ ".
Der erste FTP-Link funktioniert bei mir nicht. Der zweite Link befindet sich hinter einer Pay-Wall. Bitte verlinken Sie in Zukunft möglichst auf eine arXiv-Abstract-Seite, zB arxiv.org/abs/1006.2875

ZeroTheHero · Answer 1

Ihr erster Satz von LaTeX-Schriftsätzen funktioniert nicht, aber es ist nicht klar, dass Gleichung (4.6b) von Alisauskas und Gleichung (22) von Caprio Berechnungen sind, die unter Verwendung derselben Menge von Zuständen durchgeführt werden, die unter Verwendung derselben Untergruppenketten konstruiert wurden.

Um genau zu sein: Caprio et al verwenden zwei Kopien von $SO(3)$ , dh die $SO(3)\otimes SO(3)$ Untergruppenkette - und damit Staaten gekennzeichnet durch $\vert L_X,M_X;L_Y,M_Y\rangle$ , während Alisauskas eine Single verwendet $SO(3)$ - mit Zuständen, die (vermutlich) als gekennzeichnet sind $\vert (l_2,0);LM\rangle$ . Daher sind die CG-Technologie und die daraus resultierenden reduzierten CGs sehr wahrscheinlich unterschiedlich.

Außerdem scheint Alisauskas' Ausdruck auf vollständig symmetrische Irreps, dh Irreps des Typs, beschränkt zu sein $(l_n,0,\ldots,0)$ von $SO(2n)$ - daher die $0$ In $(l_2,0)$ in meiner Kennzeichnung seiner Zustände, daher ist es noch unwahrscheinlicher, dass die beiden Ergebnisse im Allgemeinen verglichen werden können.

Um fortzufahren, müssen Sie anscheinend bauen $so(4)$ heißt es ausdrücklich in einem $so(3)$ Basis. Ich schlage vor, Sie beziehen sich auf die Arbeit von

SC Pang und KT Hecht, J.Math. Phys. 8 (1967) 1233
MKF Wong, J. Math. Phys 8 (1967) 1899
Ausweis. , J.Math.Phys. 10 (1969) 1065

als Ausgangspunkte, wenn Sie die brauchen $SO(4)\downarrow SO(3)$ Konstruktion (die technisch werden kann, wie Sie feststellen werden).

Der $SO(4)\downarrow SO(3)\otimes SO(3)$ Basis ist viel einfacher, aber Sie müssten angeben, welche der Untergruppen Sie verwenden möchten, um Ihre CGs zu reduzieren.

Kopplungskoeffizienten in SO(4)

okj

okj

QMechaniker

Antworten (1)

ZeroTheHero

Wo wohnen L+L+L_+ und L−L−L_-, wenn nicht in so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Quantisierung des Drehimpulses in SO(3)SO(3)SO(3)

Verzweigungsregeln für SU(3)SU(3)SU(3)

Quantenmechanischer Drehimpuls und Spin-Formalismus/Notation

Kann die Lie-Algebra sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) in die direkte Summe zweier sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb) zerlegt werden? {R})?

Matrixdiagonalisierung in SU(2) und SO(3)

Was ist die vierdimensionale Darstellung der SU(2)SU(2)SU(2)-Generatoren?

Ladung eines Feldes unter der Wirkung einer Gruppe

Lie-Klammer für Lie-Algebra von SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Quantisierung des Bahndrehimpulses