Was ist die vierdimensionale Darstellung der SU(2)SU(2)SU(2)-Generatoren?

Question

Was ist die vierdimensionale Darstellung der SU(2)SU(2)SU(2)-Generatoren?

Physik
Lügen-Algebra
Eichtheorie
Gruppentheorie
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen

alexandernashzhang

Kürzlich habe ich selbst etwas über die nicht-Abelsche Eichfeldtheorie gelernt. Vielen Dank @ACuriousMind, denn mit seiner Hilfe habe ich einige Fortschritte gemacht.

Ich versuche die Diracsche Feldgleichung um eine Kopplung nach a zu erweitern $SU(2)$ Spurweite:

(ich γ^{μ} D_{μ} - M) ψ = 0

$(i{\gamma}^{\mu }{D}_{\mu}-m)\psi =0$ Wo

D_{μ} = \partial_{μ} + ich G A_{A}^{μ} T_{A}

${ D }_{ \mu }=\partial _{ \mu }+ig{ A }_{ a }^{ \mu }{ T }_{ a }$ Die

T_{a}

${ T }_{ a }$ ist der

S U (2)

$SU(2)$ Lügengruppengenerator, mit

[T_{a}, T_{b}] = i f^{a b c} T_{c}

$[{ T }_{ a },{ T }_{ b }]=i{ f }^{ abc }{ T }_{ c }$ , und das

γ^{μ}

${\gamma}^{\mu }$ sind die Dirac-Matrizen. Wenn ich explizit den ersten Teil der Dirac-Gleichung schreibe, mit Spinorform

ψ = (ϕ, χ)^{T}

$\psi=(\phi,\chi)^T$ , bekomme ich (räumlicher Teil):

(\begin{matrix} 0 & σ^{ich} \\ - σ^{ich} & 0 \end{matrix}) \partial_{ich} (\begin{matrix} \begin{matrix} ϕ \\ χ \end{matrix} \end{matrix}) + ich G (\begin{matrix} 0 & σ^{ich} \\ - σ^{ich} & 0 \end{matrix}) A_{A}^{ich} T_{A} (\begin{matrix} \begin{matrix} ϕ \\ χ \end{matrix} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\partial _{ i }\begin{pmatrix} \begin{matrix} \phi \\ \chi \end{matrix} \end{pmatrix}+ig\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}{ A }_{ a }^{ i }{ T }_{ a }\begin{pmatrix} \begin{matrix} \phi \\ \chi \end{matrix} \end{pmatrix}$ Mein Problem ist: Ich kenne nur die lineare Darstellung von ${ T }_{ a }$ ist die Pauli-Spin-Matrix aus dem Lehrbuch, aber sie sind der Satz von 2-dimensionalen Matrizen. Im obigen Ausdruck muss ich die 4-dimensionale Matrix von kennen ${ T }_{ a }$ Da der Spinor 4-dimensional ist, habe ich in einem Testbuch nachgesehen, aber die explizite Aussage der 4-D-Matrix nicht gefunden.

Also, wie im Titel erwähnt, was ist die 4-dimensionale Darstellung der $SU(2)$ Generatoren, oder wie kann ich es berechnen?

Nikos M.

es ist eine Kombination aus (üblichen) 2-Dim-Pauli-Matrizen (in einigen Darstellungen)

alexandernashzhang

Panzer! aber können Sie das Kombinationsverfahren genauer beschreiben? Ich bin mit der Lie-Gruppentheorie nicht sehr vertraut, bitte.

Nikos M.

Schauen Sie hier: en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , physicalforums.com/threads/… , effektiv sind Pauli-Matrizen die Generatoren von

S U (2)

$SU(2)$

Nikos M.

siehe auch diese Anmerkungen zu einheitlichen Gruppen und Repräsentationen cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter9.pdf

alexandernashzhang

Können Sie mir explizit sagen, wenn ich die Berechnung oben mache, welche Matrixdarstellung ich verwenden kann, dosiere es die ursprüngliche 2 * 2 Puali-Matrix

σ_{i}

$\sigma_{i}$ ?

Nikos M.

Ja, Sie können die Pauli-Matrizen verwenden. Beachten Sie, dass es Kombinationen von Pauli-Matrizen gibt, die auch Generatoren sind (ähnlich wie eine Vektorbasis andere Kombinationen von Vektoren haben kann, die ebenfalls eine Basis sind).

alexandernashzhang

aber wie kann man in der Mathematik ein Matrixprodukt mit 4*4 (

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ )-Matrix und eine 2*2-Matrix(

σ_{i}

$\sigma_{i}$ )? oder, ich kann die Off-Dig-Begriffe einsehen

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ als Zahl, und nimm das Matrixprodukt mit

σ_{i}

$\sigma_{i}$ ?

Nikos M.

Sie haben die Matrizen in anderen Matrizen (einem Tensorprodukt) in Ihrer Frage, daher ist die endgültige Dimension 4

alexandernashzhang

em, lass mich direkt fragen: wenn ich das Matrixprodukt nehme

γ^{μ} σ_{i}

$\gamma^{\mu}\sigma_{i}$ , Dosieren Sie es gleich (für Instant

σ_{x}

$\sigma_{x}$ ):

(\begin{matrix} 0 & σ^{ich} \\ - σ^{ich} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} σ^{ich} & 0 \\ 0 & - σ^{ich} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { \sigma }^{ i } & 0 \\ 0 & -{ \sigma }^{ i } \end{pmatrix}$ >? Wenn es nicht richtig ist, was ist richtig?

Nikos M.

siehe diese Anmerkungen zu nicht-abelschen Eichtheorien , die Dimensionen der Lügengruppe (die Parameter) müssen nicht mit den Raum-Zeit-Dimensionen übereinstimmen, außerdem sind die Pauli-Matrizen effektiv die (infinitesimal) Generatoren von

S U (2)

$SU(2)$

alexandernashzhang

de, Danke für Ihre Bemühungen zu helfen, danke, durch das Lesen der Anmerkung auf Seite 33, finanziere ich den Express in Gleichung 9.15:

\frac{1}{2} i W_{μ}^{a} \bar{ψ} γ^{μ} t_{a} ψ

$\frac { 1 }{ 2 } i{ W }_{ \mu }^{ a }\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ , wie man diesen Term in der folgenden Berechnung behandelt. Insbesondere der Strom von Fermion in Gl. 10.13:

\bar{ψ} γ^{μ} t_{a} ψ

$\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ .Wie schreibe ich es in einer vollständigen Matrixform?

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es ist eine Kombination aus (üblichen) 2-Dim-Pauli-Matrizen (in einigen Darstellungen)
Panzer! aber können Sie das Kombinationsverfahren genauer beschreiben? Ich bin mit der Lie-Gruppentheorie nicht sehr vertraut, bitte.
Schauen Sie hier: en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , physicalforums.com/threads/… , effektiv sind Pauli-Matrizen die Generatoren von $SU(2)$
siehe auch diese Anmerkungen zu einheitlichen Gruppen und Repräsentationen cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter9.pdf
Können Sie mir explizit sagen, wenn ich die Berechnung oben mache, welche Matrixdarstellung ich verwenden kann, dosiere es die ursprüngliche 2 * 2 Puali-Matrix $\sigma_{i}$ ?
Ja, Sie können die Pauli-Matrizen verwenden. Beachten Sie, dass es Kombinationen von Pauli-Matrizen gibt, die auch Generatoren sind (ähnlich wie eine Vektorbasis andere Kombinationen von Vektoren haben kann, die ebenfalls eine Basis sind).
aber wie kann man in der Mathematik ein Matrixprodukt mit 4*4 ( $\gamma^{\mu}$ )-Matrix und eine 2*2-Matrix( $\sigma_{i}$ )? oder, ich kann die Off-Dig-Begriffe einsehen $\gamma^{\mu}$ als Zahl, und nimm das Matrixprodukt mit $\sigma_{i}$ ?
Sie haben die Matrizen in anderen Matrizen (einem Tensorprodukt) in Ihrer Frage, daher ist die endgültige Dimension 4
em, lass mich direkt fragen: wenn ich das Matrixprodukt nehme $\gamma^{\mu}\sigma_{i}$ , Dosieren Sie es gleich (für Instant $\sigma_{x}$ ): $(\begin{matrix} 0 & σ^{ich} \\ - σ^{ich} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} σ^{ich} & 0 \\ 0 & - σ^{ich} \end{matrix})$ $\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { \sigma }^{ i } & 0 \\ 0 & -{ \sigma }^{ i } \end{pmatrix}$ >? Wenn es nicht richtig ist, was ist richtig?
siehe diese Anmerkungen zu nicht-abelschen Eichtheorien , die Dimensionen der Lügengruppe (die Parameter) müssen nicht mit den Raum-Zeit-Dimensionen übereinstimmen, außerdem sind die Pauli-Matrizen effektiv die (infinitesimal) Generatoren von $SU(2)$
de, Danke für Ihre Bemühungen zu helfen, danke, durch das Lesen der Anmerkung auf Seite 33, finanziere ich den Express in Gleichung 9.15: $\frac { 1 }{ 2 } i{ W }_{ \mu }^{ a }\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ , wie man diesen Term in der folgenden Berechnung behandelt. Insbesondere der Strom von Fermion in Gl. 10.13: $\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ .Wie schreibe ich es in einer vollständigen Matrixform?

QMechaniker · Answer 1

Kommentar zur Frage (v4): OP scheint Raumzeitsymmetrien und interne Eichsymmetrien effektiv zu verschmelzen. Sie agieren in unterschiedlichen Repräsentationen, genauer gesagt als Tensorprodukt von Repräsentationen.

Zum Beispiel das Fermion $\psi$ trägt zwei Arten von Indizes, sagen wir $\psi^{\alpha i}$ , $\alpha=1,2,3,4,$ Und $i=1,2$ . Das Fermion wirkt

Als ein $4$ -dimensionale Dirac-Spinor-Darstellung unter Lorentz-Transformationen.
Als ein $2$ -dimensionale Grunddarstellung der Eichgruppe $SU(2)$ unter Messgerät Transformationen.

Ebenso die $4\times 4$ Dirac-Matrizen $\gamma^{\mu}$ und das $2\times 2$ $SU(2)$ Spurgruppengenerator $T^a$ wirken auf unterschiedliche Darstellungen. Das Produkt von $\gamma^{\mu}$ Und $T^a$ ist ein Tensorprodukt. Vor allem der Begriff $\gamma^{\mu}T^a\psi$ in der OP-Formel trägt wieder zwei Arten von Indizes und wird als ausgewertet

(γ^{μ} T^{A} ψ)^{a ich} = (γ^{μ})^{a}_{β} (T^{A})^{ich}_{J} ψ^{β J} .

$(\gamma^{\mu}T^a\psi)^{\alpha i}~=~(\gamma^{\mu})^{\alpha}{}_{\beta}~ (T^a)^{i}{}_{j}~\psi^{\beta j}.$

em, meinst du, weil die SU(2)-Symmetrie intern ist (Raumzeit nicht einbezieht), ist die Darstellung des SU(2)-Generators immer eine 2*2-Puali-Matrix, wenn die kovariante Ableitung auf dem 4*1-Spinor asct ( für SU(2) ist es 2*1) ?Bitte konzentrieren Sie sich weiterhin auf diesen Beitrag, danke!
Großartig!! Danke für deine mächtige Hilfe! Ich glaube, ich verstehe, was du meinst. Ich schreibe es auf, bitte überprüfen Sie es, wenn es falsch ist, weisen Sie bitte darauf hin, wenn es richtig ist, sagen Sie es mir bitte auch, danke!
Großartig! Vielen Dank für Ihre starke Hilfe! Ich glaube, ich habe verstanden. Ich schreibe es auf, bitte überprüfen Sie es, wenn es falsch ist, weisen Sie bitte darauf hin, wenn es richtig ist, sagen Sie es mir bitte auch, danke! ** Als Ihr Mittelwert das Dirac-Feld $\psi$ ist ein Tensorprodukt aus Raum-Zeit-Teil und internem Teil as $\psi ={\psi}^{\alpha}\bigotimes {\psi}_{i}$ , So der Ausdruck ${\gamma}^{\mu}{T}^{a}\psi =({\gamma}^{\mu}{ \bigotimes T }^{a})({\psi}^{\alpha}\bigotimes {\psi}_{i})=({\gamma}^{\mu}{\psi}^{\alpha})\bigotimes {(T}^{a}{\psi}_{i})$ , das Ergebnis ist ein 8*1-Spaltenvektor, und jedes Element ist ${({\gamma}^{\mu}{T}^{a}\psi)}^{\alpha i}$ **

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