Warum Vertretungen statt nur Gruppen?

Diese Frage bittet im Wesentlichen um eine Klarstellung dessen, was in dieser Frage bereits gesagt wurde. Was ich nicht verstehe, ist, warum in der Quantenfeldtheorie die Repräsentationen wichtig sind und nicht nur die Gruppe selbst. Fügen die Repräsentationen eine zusätzliche Struktur hinzu, die die Gruppe nicht besaß? Wenn ja, woher wissen wir, dass wir diese Struktur in unserer Theorie haben wollen? (wenn es einen anderen Grund als empirische Beobachtung gibt)

Oder anders formuliert: Gibt es eine Möglichkeit, Quantenfeldtheorien mit bestimmten Symmetrien darstellungsfrei zu schreiben? (z. B. das Standardmodell).

Was würde eine Gruppe ohne Vertretung nützen? Jedes Mal, wenn eine Gruppe auf "nette" Weise mit einem Vektor handelt, erhalten Sie eine Repräsentation. Keine Vertretung bedeutet keine Gruppenaktionen, und welche Bedeutung hat dann die Gruppe? Ich verstehe die Frage nicht.
Ich dachte einmal dasselbe, dachte, dass eine Repräsentation genauso wie eine Basiswahl sei und dass alles unabhängig von einer Basis oder Repräsentation umformuliert werden könnte. Aber das stimmt auch in der Quantenmechanik nicht : Die unterschiedlichen Darstellungen von S U ( 2 ) geben Sie Teilchen mit unterschiedlichen Spins! Die gemeinsame Gruppenstruktur sagt Ihnen nur, dass Sie es mit Rotation zu tun haben; Sie brauchen die Vertretung, um Ihnen den Rest zu sagen.
@knzhou Ich denke, das beantwortet meine Frage schon fast. Darf ich fragen, was genau die Repräsentationen im strukturellen Sinne hinzufügen? Wie kommen die verschiedenen Spins aus der Gruppe? (falls das Sinn macht)
@ACuriousMind, was knzhou gesagt hat, hat im Wesentlichen meine Frage in seinem ersten Teil.
Nun, Sie haben keine Ahnung, welche Elemente Ihrer Gruppe G auf eine Vertretung verzichten . Zum Beispiel könnten Sie einige Elemente denken G stellt beispielsweise eine 45-Grad-Drehung dar z Achse. Aber um das zu sagen, haben Sie implizit die Vektordarstellung gewählt, dh so ist es G wirkt auf v Wenn v ∈ R 3 und ist in der Vektordarstellung. Ohne dies zu tun, G hat überhaupt keine physikalische Bedeutung.
Nein, eine Repräsentation ist nicht nur eine Wahl der Basis (Basis wofür?), sondern verbindet die Gruppe dennoch mit einem Vektorraum. Ein Vektorraum (oder einer seiner invarianten Unterräume) kann sich gemäß einer Darstellung verhalten. Für verschiedene Partikel benötigen Sie unterschiedliche Räume, um sie zu behandeln. Sie können unterschiedliche Dimensionen haben und benötigen unterschiedliche Repräsentationen derselben Gruppe.
Ein Teil der Verwirrung kommt von der Tatsache, dass Lie-Gruppen oft als Matrixgruppen dargestellt werden , d.h S U ( N ) wird in Bezug auf geschrieben N × N unitäre Matrizen usw. Dies ist nicht „die Gruppe“ im abstraktesten Sinne; es ist eine besondere Repräsentation der Gruppe, die als Fundamentalrepräsentation bezeichnet wird.
@knzhou Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, danke für deine Hilfe!

Antworten (2)

Die Quantenfeldtheorie ist keine Untersuchung von Gruppen, sondern eine Untersuchung von physikalischen Zuständen und Observablen. Die Gruppen sind nur deshalb interessant, weil sie auf die Objekte von tatsächlichem Interesse einwirken. Die Repräsentationstheorie ist nur das Studium solcher Handlungen; wenn es keine Repräsentation einer Gruppe zu interessanten Objekten gibt, ist die Gruppe selbst für QFT nicht interessant.

Man könnte sich also eher die Frage stellen, warum wir Gruppen studieren und nicht nur die Repräsentationen. Die Antwort wäre, dass der abstrakte Begriff der Gruppe die einfachste Struktur, die in einer Repräsentation vorhanden ist, einkapselt, und dann wird die Repräsentation als zusätzliche Struktur über der Gruppe und dem Raum interessanter Objekte betrachtet.

Darstellungen stellen Gruppen-(Algebra-)Elemente als lineare Operatoren auf einem Vektorraum dar, in der Physik sind die Vektorräume normalerweise auch Hilbert und die Operatoren sind oft orthogonal oder unitär (selbstadjungiert), sodass sie tatsächlich einiges an zusätzlicher Struktur einführen. Am einfachsten ist zu sehen, dass die Darstellung nicht getreu sein muss, dh das Bild der Gruppe in der Gruppe der Operatoren muss nicht isomorph zur Gruppe selbst sein. In deskriptiven Begriffen, wenn wir uns vorstellen, dass Repräsentation Symmetrien eines physikalischen Systems beschreibt, kann nur ein Teil (oder besser gesagt eine reduzierte Version) der erlaubten Symmetrien vorhanden sein. Aber selbst wenn Repräsentationen treu sind und ihre Bilder zur Gruppe isomorph sind, können sie dennoch Symmetrien unterschiedlich implementieren. Beispielsweise kann eine Darstellung reduzierbar sein,zyklischer Vektor , der den gesamten Raum "erzeugt"). Das Aufbrechen reduzierbarer Darstellungen in irreduzible Darstellungen kann dann verwendet werden, um sie in einfachere Komponenten (häufig Superauswahlsektoren genannt) aufzuteilen , deren Verhalten leichter zu analysieren ist.

In unendlichdimensionalen Systemen ist es auch möglich, dass Darstellungen nicht einheitlich äquivalent sind, es gibt keine einheitliche Abbildung zwischen ihren Vektorräumen, die ihren Operatoren entsprechend entspricht. Da die einheitliche Äquivalenz die physikalische Äquivalenz widerspiegelt, bedeutet dies, dass unterschiedliche Darstellungen physikalisch unterschiedlichen Systemen entsprechen. Wallace diskutiert dieses Problem ausführlich in seinem Lagrange-QFT-Artikel (Abschnitt 4) und gibt ein einfaches Beispiel: „Um zu sehen, was diese Sektoren sind, nehmen wir an, wir beginnen damit, dass alle Komponenten hochgefahren sind. Dann kann die Aktion eines beliebigen Elements der Algebra höchstens dazu führen, dass endlich viele Komponenten einen Spin-Down haben. Also kann keine noch so große algebraische Aktion einen solchen Zustand in einen verwandeln, in dem, sagen wir, jede zweite Komponente Spin-Up hat. Dieser Zustand wiederum kann an endlich vielen Stellen in andere davon abweichende Zustände überführt werden, aber nicht in einen Zustand, in dem alle Komponenten heruntergefahren sind... " In der QFT selbst können "Infrarot"-inäquivalente Darstellungen unterschiedliche Dichten im Unendlichen, unterschiedliche Gesamtladungen oder ungleiches Vakuum für die entsprechenden Systeme von Quantenfeldern Die Antwort auf die fettgedruckte Frage lautet also nein, Unterschiede in der Darstellung spiegeln Unterschiede in der Physik wider.

Warum Vertretungen statt nur Gruppen?
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