Lorentz-Gruppe und Klassifikation von Feldern durch ihre Transformation unter Lorentz-Transformationen

Question

Lorentz-Gruppe und Klassifikation von Feldern durch ihre Transformation unter Lorentz-Transformationen

Anonym

Lassen Sie uns eine Lorentz-Gruppe mit Generatoren von 3 Rotationen haben, $\hat {R}_{i}$ , und Lorentz verstärkt, $\hat {L}_{i}$ . Durch die Einführung von Operatoren

$\hat {J}_{i} = \frac{1}{2}\left(\hat {R}_{i} + i\hat {L}_{i}\right), \quad \hat {K}_{i} = \frac{1}{2}\left(\hat {R}_{i} - i\hat {L}_{i}\right)$

Wir machen die Algebra der Lorentz-Gruppe zur SU(2)- (oder SO(3))-Gruppe. So kann jede irreduzible Darstellung der Lorentzgruppe wie folgt aufgebaut werden

{\hat{S}}^{(J_{1}, J_{2})} = {\hat{S}}^{J_{1}} \times {\hat{S}}^{J_{2}},

$\hat {\mathbf S}^{(j_{1}, j_{2})} = \hat {\mathbf S}^{j_{1}}\times \hat {\mathbf S}^{j_{2}},$ Wo

j_{1}, j_{2}

$j_{1}, j_{2}$ sind die maximalen Eigenwerte von

{\hat{J}}_{i}, {\hat{K}}_{i}

$\hat {J}_{i}, \hat {K}_{i}$ ,

und es hat Dimension $(2j_{1} + 1)\times (2j_{2} + 1)$ . Die Art des Objekts, das sich über Boosts und 3-Rotationen transformiert, hängt davon ab $(j_{1}, j_{2})$ :

Ψ_{a β} = S_{a μ}^{J_{1}} S_{β v}^{J_{2}} Ψ_{μ v} .

$\Psi_{\alpha \beta} = S^{j_{1}}_{\alpha \mu}S^{j_{2}}_{\beta \nu}\Psi_{\mu \nu}.$ Für

(0, 0)

$(0, 0)$ wir haben skalare, z

(\frac{1}{2}, 0), (0, \frac{1}{2})

$\left(\frac{1}{2}, 0 \right), \left(0, \frac{1}{2}\right)$ Wir haben Spinor (links- und rechtshändig) usw. Der Wert

j_{1} + j_{2}

$j_{1} + j_{2}$ entspricht dem Maximalwert von

{\hat{J}}_{i} + {\hat{K}}_{i} = {\hat{R}}_{i}

$\hat {J}_{i} + \hat {K}_{i} = \hat {R}_{i}$ , ist also ein Eigenwert der irreduziblen Wiederholung des 3-Rotationsoperators und entspricht der Spinzahl.

Aber die irreduzible Repräsentation der Lorentz-Gruppe ist nicht einheitlich.

Die Frage also: Wie können wir die Objekte über Transformationen klassifizieren, indem wir nicht-einheitliche Wiederholungen verwenden?

Benutzer10001

Ob die Darstellung der Lorentz-Gruppe im Feldraum einheitlich ist oder nicht, hat keine physikalische Bedeutung. Man fordert, dass die Repräsentation der Lorentz-Gruppe im Zustandsraum einheitlich ist. Der Zustandsraum ist ein Fock-Raum, der von Fourier-Modi von Feldern erzeugt wird, und obwohl die Felder selbst unter einer endlichdimensionalen (daher nicht einheitlichen) Darstellung der Lorentz-Gruppe stehen, ergibt der von ihren Fourier-Modi erzeugte Fock-Raum eine einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe.

Benutzer8817

@benutzer10001 . Wie genau gibt der Fock-Raum eine einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe?

Benutzer1504

@PhysiXxx Das ist eine gute Frage, aber eine, die Sie in einem eigenen Beitrag stellen sollten, anstatt hier in den Kommentaren zu vergraben.

Antworten (1)

Lorentz-Gruppe und Klassifikation von Feldern durch ihre Transformation unter Lorentz-Transformationen

Ob die Darstellung der Lorentz-Gruppe im Feldraum einheitlich ist oder nicht, hat keine physikalische Bedeutung. Man fordert, dass die Repräsentation der Lorentz-Gruppe im Zustandsraum einheitlich ist. Der Zustandsraum ist ein Fock-Raum, der von Fourier-Modi von Feldern erzeugt wird, und obwohl die Felder selbst unter einer endlichdimensionalen (daher nicht einheitlichen) Darstellung der Lorentz-Gruppe stehen, ergibt der von ihren Fourier-Modi erzeugte Fock-Raum eine einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe.
@benutzer10001 . Wie genau gibt der Fock-Raum eine einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe?
@PhysiXxx Das ist eine gute Frage, aber eine, die Sie in einem eigenen Beitrag stellen sollten, anstatt hier in den Kommentaren zu vergraben.

Trimok · Answer 1

Beachten Sie, dass Teilchen irreduziblen einheitlichen Darstellungen der Poincaré-Gruppe (alias inhomogene Lorentz-Gruppe) entsprechen, nicht nur der Lorentz-Gruppe.

In diesen Poincaré-Darstellungen werden Staaten durch dargestellt $|p, \lambda \rangle$ . $p$ ist der Schwung.

Betrachten wir positive massive Darstellungen ( $p^2 = m^2, p^o >0$ ) Lassen $\pi=(m,\vec 0)$ . Wir sehen, dass wir die Freiheit haben, die Polarisation zu wählen, was a entspricht $S0(3)$ Symmetrie. Betrachtet man einheitliche Darstellungen von $SO(3)$ ist dasselbe wie das Betrachten von Darstellungen von $SU(2)$

Hier, $\lambda$ ist eine staatliche Basis für eine kleine Gruppe $SU(2)$ Darstellung $s$ .

Für eine Übersetzung haben wir:

U (A) | P, λ ⟩ = e^{ich P . A} | P, λ ⟩

$U(a)|p, \lambda \rangle = e^{ iP.a}|p, \lambda \rangle$

Für ein Mitglied $R$ der kleinen Gruppe $SU(2)$ , wir haben :

U (R) | π, λ ⟩ = \sum_{λ^{'}} D_{λ^{'} λ}^{(S)} (R) | π, λ^{'} ⟩

$U(R)|\pi, \lambda \rangle = \sum_{\lambda'} D^{(s)}_{\lambda' \lambda}(R)|\pi, \lambda' \rangle$

Für alle $SL(2,C)$ Matrix $A$ , und für alle $p$ , ist es möglich, einen Ausdruck zu schreiben:

U (A) | P, λ ⟩ = \sum_{λ^{'}} D_{λ^{'} λ}^{(S)} (W (P, A)) | Λ_{A} P, λ^{'} ⟩

$U(A)|p, \lambda \rangle = \sum_{\lambda'} D^{(s)}_{\lambda' \lambda}(W(p, A))| \Lambda_ap, \lambda' \rangle$ Wo

W (p, A)

$W(p,A)$ ist ein

S U (2)

$SU(2)$ kleines Gruppenelement (siehe Formel

18

$18$ in der unten zitierten Referenz für Details)

Mit all dem erhalten Sie eine einheitliche Darstellung der Poincaré-Gruppe.

Der "Fock-Raum" ist die Quantenversion dieser Darstellungen, dh er erlaubt Mehrteilchenzustände.

Siehe Referenzseiten 4 und 5

[EDIT] "Für Felder ist es nicht wichtig, eine Lorentz-invariante positive definitive Norm zu haben?"

Nein. Nehmen Sie zum Beispiel die Dirac-Gleichungen für das Bi-Spinor-Feld. Die Vertretung ist $(1/2,0) + (0,1/2)$ . Dies ist keine einheitliche Darstellung. Es gibt einen linken und einen rechten Spinor. Die Transformation könnte geschrieben werden:

ψ_{L, R} =\to e^{1 / 2 (ich \vec{σ} . \vec{θ} \mp \vec{σ} . \vec{ϕ})} ψ_{L, R},

$\psi_{L,R} =\rightarrow e^{1/2(i\vec \sigma. \vec \theta \mp \vec \sigma. \vec \phi)}\psi_{L,R},$

Die Parameter $\vec \theta$ Drehungen entsprechen, die Parameter $\vec \phi$ Boosts entsprechen.

Da der Boost-Teil nicht einheitlich ist, sehen wir deutlich, dass die Darstellung nicht einheitlich ist.

Das bedeutet also, dass der bilineare Ausdruck Bispinor ist $\psi^* \psi = \psi^*_{L}\psi_{L} + \psi^*_{R}\psi_{R}$ wird in einer Lorentz-Transformation nicht konserviert [tatsächlich werden separat die bilinearen Spinor-Ausdrücke $\psi^{*}_{L} \psi_{L}$ oder $\psi^{*}_{R} \psi_{R}$ werden auch nicht konserviert]. Denken Sie hier daran, dass die $\psi,\psi_{L}, \psi_{R}$ sind Felder, keine "Wellenfunktion".

Ist das ein Problem ? NEIN.

Was ist $\psi^*(x) \psi(x)$ ? Es ist nur (multipliziert mit $e$ ) die Ladungsdichte von Feldern, das heißt $j^0(x)$

Also natürlich $j^0(x)$ ist keine Invariante für eine Lorentz-Transformation, da es sich um die Zeitkomponente eines Lorentz-Vektors handelt.

Die echte Lorentz-Invariante ist hier: $\overline \psi(x) \psi(x)= \psi^*(x) \gamma^0 \psi(x)$

"... Beachten Sie, dass Teilchen irreduziblen einheitlichen Darstellungen der Poincaré-Gruppe (alias inhomogene Lorentz-Gruppe) entsprechen, nicht der Lorentz-Gruppe allein ...", - aber wir diskutieren über die Felder, nicht über die Wellenfunktionen. Für Felder ist es nicht wichtig, eine lorentzinvariante positive definitive Norm zu haben.

Lorentz-Gruppe und Klassifikation von Feldern durch ihre Transformation unter Lorentz-Transformationen

Anonym

Benutzer10001

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Trimok

Benutzer8817

Trimok

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