Warum spielt die adjungierte Repräsentation in einigen Feldtheorien eine Rolle?

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die richtige Antwort kenne (da ich selbst Student bin), aber ich werde es versuchen (und wenn ich falsch liege, korrigiert mich bitte jemand).

Das erste, wofür ich einige Zeit brauchte, um herauszufinden, was sie unter adjungierter Repräsentation verstehen. In Georgis Buch definiert er die adjungierte Darstellung eines Generators als:

$$\begin{equation} [T_i]_{jk} \equiv -if_{ijk} \end{equation}$$ was der adjungierten Darstellung einer Lie-Algebra entspricht . Wenn es jedoch um Monopole geht, meinen sie eigentlich die adjungierte Darstellung einer Lie-Gruppe. Das bedeutet, dass $\phi$nimmt Werte in der Lie-Algebra (dem von den Generatoren gebildeten Vektorraum) an und kann in Form der Generatoren in einer beliebigen Darstellung ausgedrückt werden : $$\begin{equation} \phi = \phi^a t^a \end{equation}$$ wo $t^a$bezeichnen die Generatoren in einer beliebigen Darstellung (und es gibt eine implizite Summe über wiederholte Indizes).

Betrachten wir nun das einfachste Beispiel, nämlich den bosonischen Teil von$\mathrm{SU(2)}$Eichinvariante Georgi-Glashow-Modell:

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{8} \mathrm{Tr} (F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_\mu \phi D^\mu \phi) - \frac{\lambda}{4}(1-\phi^a \phi^a )^2 \end{equation}$$ Wir können die kinetische und potentielle Energie schreiben, $T$und $V$, als: $$\begin{equation} T=\int \left( - \frac{1}{4} \mathrm{Tr} (F_{0i}F_{0i}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_0 \phi D_0 \phi) \right) \mathrm{d^3}x \end{equation}$$ und: $$\begin{equation} V=\int \left( - \frac{1}{8} \mathrm{Tr} (F_{ij}F_{ij}) - \frac{1}{4} \mathrm{Tr}(D_i \phi D_i \phi) + \frac{\lambda}{4}(1-\phi^a \phi^a )^2 \right) \mathrm{d^3}x \end{equation}$$ wo wir verwendet haben $L= \int \mathcal{L} \; \mathrm{d^3}x = T-V$. Um endliche Energielösungen zu erhalten, müssen wir Randbedingungen auferlegen, so dass die Gesamtenergie des Modells im räumlichen Unendlichen verschwindet. Es sollte klar sein, dass eine der Anforderungen, um sicherzustellen, dass die Energie verschwindet, folgende ist: $$\begin{equation} \phi^a \phi^a =1 \end{equation}$$ Dies impliziert, dass das Higgs-Vakuum einer unendlichen Menge entarteter Vakuumwerte entspricht, die auf der Oberfläche einer Einheits-Zwei-Kugel im Feldraum liegen, die wir mit bezeichnen werden $S^2_1$. Darüber hinaus führt dies durch Auferlegen der oben genannten Randbedingung endlicher Energie zu der folgenden Karte: $$\begin{equation} \phi : S^2_\infty \to S^2_1 \end{equation}$$ wo $S^2_\infty$bezeichnet die Zwei-Sphäre, die mit räumlicher Unendlichkeit (in 3 Dimensionen) verbunden ist. Dies ist in der Tat die Definition der Windungszahl (oder des Grades) zwischen zwei zweidimensionalen Sphären und wird daher klassifiziert durch $\pi_2(S^2)=\mathbb{Z}$(und es ist theoretisch möglich, topologische Solitonen zu konstruieren). Nun, wenn $\phi$in der fundamentalen Darstellung war, dann glaube ich nicht, dass es möglich ist, diese topologischen Solitonen zu konstruieren.

Theorien mit fundamentalen Quarks, die eine spontane chirale Symmetriebrechung erfahren:

$$SU_L(N_f) \times SU_R(N_f) \rightarrow SU_A(N_f)$$

($N_f$ist die Anzahl der Geschmacksrichtungen)

(Dies ist die beobachtete ungefähre Symmetriebrechung in der Natur, wo die Pionen die ungefähren Goldstone-Bosonen sind).

Im Gegensatz dazu erfahren Theorien mit adjungierten Quarks das Brechungsmuster der chiralen Symmetrie:

$$SU(N_f) \rightarrow SO(N_f)$$

(modulo diskrete Gruppen). Siehe zum Beispiel den folgenden Artikel Auzzi, Bolognesi und Shifman.

Der Grund dafür ist, dass die adjungierte Darstellung, da sie reell ist, nur eine Kopie davon hat$SU(N_f)$Geschmackssymmetrie und$SO(N_f)$ist eine maximale Untergruppe von$SU(N_f)$, daher beginnt jede Symmetriebrechung in diesem Muster.

Die Mannigfaltigkeit des Goldstone-Bosons wird sein:

$$\mathcal{M} = SU(N_f)/SO(N_f)$$

Die Topologie der Goldstone-Boson-Mannigfaltigkeit bestimmt die Existenz von t'Hooft-Polyakov-Monopolen, da es sich um eine nicht triviale Homotopiegruppe handelt$\pi_2(\mathcal{M} )$ist erforderlich, damit eine stabile Monopollösung existiert. Dies geschieht in unserem Fall, wenn$N_f =2$, in diesem:

$$\mathcal{M} = SU(2)/SO(2) = S^2$$

Daher$\pi_2(\mathcal{M} ) = \mathbb{Z}$und Monopole existieren.

Darüber hinaus wird es für eine beliebige Anzahl von Geschmacksrichtungen Skyrmions geben$\mathcal{M}$wie in Artikel von Bolognesi und Shifman ausgeführt.