Yukawa-Kopplung eines skalaren SU(2)SU(2)SU(2)-Tripletts mit einem linkshändigen fermionischen SU(2)SU(2)SU(2)-Dublett

Question

Yukawa-Kopplung eines skalaren SU(2)SU(2)SU(2)-Tripletts mit einem linkshändigen fermionischen SU(2)SU(2)SU(2)-Dublett

Hallo
Physik
Chiralität
Eichtheorie
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen

Jonathan Gleason

Angenommen, wir haben eine Feldtheorie mit einem einzigen komplexen Skalarfeld $\phi$ und ein einzelnes Dirac-Fermion $\psi$ , beide masselos. Lass uns schreiben $\psi _L=\frac{1}{2}(1-\gamma ^5)\psi$ . Dann sollte die Yukawa-Kopplung des Skalarfelds mit dem linkshändigen Fermion-Feld die Form haben

G \bar{ψ} ψ ϕ,

$g\overline{\psi}\psi \phi,$ Wo

g

$g$ ist die Kopplungskonstante. So weit, so gut (zumindest denke ich; bitte korrigieren Sie mich, wenn das falsch ist).

Nun führen wir die Eichinvarianz in die Theorie ein und fordern dies $\phi$ als Triplett umwandeln und $\psi _L$ als Dublette unter der Eichgruppe transformieren $SU(2)$ . Welche Form nimmt die Lagrange-Funktion jetzt an? Meine Verwirrung kommt da jetzt besonders auf, obwohl $\phi$ als Skalar unter der Lorentz-Gruppe transformiert, muss sie durch beschrieben werden $3$ -Komponenten, so dass es sich als Triplett unter transformieren kann $SU(2)$ . Aber dann ist der oben aufgeführte Yukawa-Kopplungsterm, wie geschrieben, keine Zahl! Ich weiß, dass dies etwas damit zu tun hat (glaube ich), dass $\overline{2}\otimes 2$ zerfällt in etwas, das die Triplettdarstellung von beinhaltet $SU(2)$ . Leider weiß ich nicht genug über die Darstellungstheorie von $SU(2)$ um dies in einen sinnvollen Yukawa-Kopplungsbegriff umzuwandeln.

Noch einmal wegen meiner mangelnden Kenntnisse der Darstellungstheorie von $SU(2)$ , ich weiß nicht, wie ich die kovariante Eichableitung schreiben soll, die der Triplettdarstellung von entspricht $SU(2)$ . Legt man die Pauli-Matrizen zugrunde für $\mathfrak{su}(2)$ , wie ist die Triplettdarstellung von $SU(2)$ beschrieben in Begriffen der Pauli-Matrizen, die auf einen dreidimensionalen komplexen Vektorraum wirken?

Ich bin mir auch nicht sicher, was genau mit dem kinetischen Term für das Fermionenfeld passieren soll. Bevor man auf Eichinvarianz besteht, sollte dieser Term die Form haben

ich \bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} ψ .

$i\overline{\psi}\gamma ^\mu \partial _\mu \psi .$ Allerdings, weil (glaube ich) Eichinvarianz nur gefordert wird

ψ_{L}

$\psi _L$ , vermutlich passiert mit diesem Begriff etwas Komplexeres als nur

i \bar{ψ} γ^{μ} D_{μ} ψ

$i\overline{\psi}\gamma ^\mu D_\mu \psi$ , Wo

D_{μ}

$D_\mu$ die geeignete Eichkovariantenableitung ist. Stattdessen sollte dieser kinetische Term in der Form geschrieben werden

ich \bar{ψ_{L}} γ^{μ} D_{μ} ψ_{L} + ich \bar{ψ_{R}} γ^{μ} \partial_{μ} ψ_{R} ?

$i\overline{\psi_L}\gamma ^\mu D_\mu \psi _L+i\overline{\psi _R}\gamma ^\mu \partial _\mu \psi _R?$

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DJBunk · Answer 1

Sie scheinen die Eichinvarianz in eine Theorie einführen zu wollen, die anscheinend überhaupt nicht die globale Symmetrie benötigt. Eine Möglichkeit, sich Eichinvarianz vorzustellen, besteht darin, dass Sie die globale Symmetrie "messen" und dann einfach Ihre Ableitungsterme in kovariante Ableitungen ändern, wie Sie es erwähnt haben. Mit anderen Worten, wir können uns vorerst nur mit der globalen Symmetrie beschäftigen und sie ganz am Ende messen, wenn wir wollen. Nun, zumindest in dem Begriff, den Sie aufgeschrieben haben

ϕ \bar{ψ} ψ

$\phi \bar{\psi} \psi$

Es ist nicht klar, wie die Indizes zusammengezogen werden. Mach das $\phi$ Und $\psi$ Indizes haben? Zum Beispiel könnte ich das machen $\psi$ Verwandeln Sie sich in unter $SU(2)$ durch Einführung einer zweiten Kopie der $\psi$ und über sie summieren:

ϕ \bar{ψ^{A}} ψ^{A}

$\phi \bar{\psi^a} \psi^a$

aber jetzt schaffe ich das nicht $\phi$ transformieren, weil es nichts mehr gibt, um das zusammenzuziehen $\phi$ Index mit. Das ist,

ϕ^{B} \bar{ψ^{A}} ψ^{A}

$\phi^b \bar{\psi^a} \psi^a$

ist kein Singulett (ein Singulett transformiert sich nicht unter der Symmetrie ), daher macht es als Begriff in Ihrem Lagrangian keinen Sinn. Oder Sie könnten einen zweiten Spinor einführen, der ein Singulett unter der globalen Symmetrie ist, damit Sie etwas haben, mit dem Sie Ihre skalaren Indizes zusammenziehen können:

ϕ^{A} \bar{ψ^{A}} η

$\phi^a \bar{\psi^a} \eta$

Schließlich, wenn Sie möchten, dass sich ein Spinor als Triplett oder im Adjunkt von transformiert $SU(2)$ Sie könnten den Generator von SU(2) und Kontraktindizes wie folgt einführen:

ϕ^{A} (T^{A})^{B C} \bar{ψ^{B}} ψ^{C} = ϕ^{A} \bar{ψ} T^{A} ψ

$\phi^a (t^a)^{bc} \bar{\psi^b} \psi^c = \phi^a \bar{\psi} t^a \psi$

bei dem die $t^a$ ist in der fundamentalen (oder Dublett-)Darstellung, so dass wir den adjungierten Index richtig gegen zwei Dublett-Indizes tauschen können und ein Gesamtsingulett für den Lagrangian erhalten.

Nun, was die kinetischen Terme betrifft, wie Sie erwähnt haben, wenn Sie Eichsymmetrie einführen wollen, tauschen Sie die reguläre Ableitung gegen eine kovariante Ableitung.

\partial_{μ} ϕ^{A} \to D_{μ} ϕ^{A} = \partial_{μ} ϕ^{A} + ich {A_{μ}}^{B} (T^{B})^{A C} ϕ^{C}

$\partial_\mu \phi^a \rightarrow D_\mu \phi^a =\partial_\mu \phi^a + i {A_\mu}^b (t^b)^{ac}\phi^c$

bei dem die $t^a$ ist in welcher rep auch immer $\phi^a$ eintransformiert. Dasselbe gilt für die Fermionenfelder.

Es gibt jedoch einen Vorbehalt bei all dem – dieses Rezept, eine globale Symmetrie naiv zu messen, das ich skizziert habe, bricht zusammen, wenn die globale Symmetrie „anomal“ ist. Das heißt, quantenmechanische Effekte brechen die naive, klassische globale Symmetrie. Ich werde nicht darauf eingehen, was das ist, aber behalten Sie es vorerst im Hinterkopf und lesen Sie darüber, wenn Sie Gelegenheit dazu haben.

Ich habe das Gefühl, dass Sie vielleicht mehr Informationen wünschen, aber ich werde hier vorerst aufhören und wenn Sie bearbeiten, werde ich klären / hinzufügen.

EDIT: Im Nachhinein scheint das leichter zu funktionieren $SU(2)$ Wiederholungen einfacher als andere Gruppen, da für $SU(2)$ Der Adjoint-Rep ist derselbe wie der Triplet-Rep, sodass ich mithilfe der Generatoren Triplet-Rep-Indizes gegen Doublet-Indizes tauschen kann $(t^a)^{ij}$ . Ich bin mir nicht sicher, ob Sie diese Art von Dingen für Gruppen im Allgemeinen tun können.

Dies kam eigentlich von einem Hausaufgabenproblem (es gab ein Limit von fünf Tags). Das Problem lautet: „Eine Methode zur Erzeugung von Neutrinomassen, die wir im Unterricht nicht besprochen haben, besteht darin, ein Higgs-Feld hinzuzufügen $T$ das ist ein Triplett unter $SU(2)_L$ mit einer Yukawa-Kopplung an die linkshändigen Lepton-Dubletten. Wenn dieses Triplett ein komplexes Feld ist, dann ist es möglich, diesem neuen Skalarfeld eine Leptonenzahl zuzuweisen, so dass die Leptonenzahl erhalten bleibt.“ Er schreibt den Yukawa-Kopplungsterm nicht wirklich aus, also müssen wir es herausfinden das aus eigener Kraft.
Dieser Teil meiner Frage kann wie folgt formuliert werden: Angesichts dieser Problemstellung, was ist die korrekte Form des Yukawa-Kopplungsterms? (Mir ist klar, dass das, was ich aufgeschrieben habe, keinen Sinn ergab. Das Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich es ändern soll, damit es Sinn ergibt).
Angenommen, wir haben ein Higgs-Dublett und ein Higgs-Triplett. Kann man aus einem Higgs-Dublett ein Higgs-Triplett machen? Ich meine so, dass wir einen Begriff wie haben $\sim D D T$ ?
JG - Entschuldigung, habe ich das nicht oben beantwortet? Dummheit - Um ein Triplett zu erhalten, können Sie die reguläre Zerlegung verwenden $|1/2> \times |1/2> = | 1> + |0>$ . Für den Begriff in Ihrem Lagrangian, glaube ich $D^i (t^a)^{ij} D^j T^a$ macht den Job.

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