Kinetischer SU(2)-Term als Spur

Die Spur ist nur das Skalarprodukt der Lie-Algebra. Die Feldstärken sind Lie-Algebra-bewertet, d.h.$\mathbf{F}_{\mu\nu}$ist ein Element der Lie-Algebra und kann als Linearkombination von Generatoren geschrieben werden:$\mathbf{F}_{\mu\nu} = \sum_a F^a_{\mu\nu} t^a$. Üblicherweise normiert man die Generatoren so$\left \langle t^a, t^b\right\rangle = \operatorname{tr} t^a t^b = c \delta^{ab}$, für einige konstant$c$, von dem Sie bekommen$\operatorname{tr} \mathbf{F}_{\mu\nu}\mathbf{F}^{\mu\nu} = F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu}$.

Die Motivation dafür ist, dass ein hypothetischer Skalar des Spinorfelds gekoppelt wird$N$Messfelder$A^a$über die kovariante Ableitung, und jede von diesen$N$Eichfelder bekommt einen eigenen kinetischen Begriff der Form$F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$.

Hier ist, was mich verwirrt hat (ich war einfach zu faul, um zu arbeiten). Was meine Frage beantwortet, ist die folgende einfache Algebra: Beginnend mit der Spur finden wir*

$$\mathrm{tr}\left\{\left(\vec{F}_{\mu\nu}\cdot\frac{\vec{\tau}}{2}\right)^2\right\} = \mathrm{tr}\left\{\left({F}^1\cdot\frac{{\tau}^1}{2}+\cdots\right)\left({F}^1\cdot\frac{{\tau}^1}{2}+\cdots\right)\right\} \\[1cm]= \mathrm{tr}\left\{\left(F^1 F^1\frac{{(\tau}^1)^2}{4}+\underbrace{F^1 F^2\frac{{(\tau}^1\tau^2)}{4}+F^2 F^1\frac{{(\tau}^2\tau^1)}{4}}_{0}+\underbrace{\cdots}_{_{0+F^2 F^2\frac{{(\tau}^2)^2}{4}}}+F^3 F^3\frac{{(\tau}^3)^2}{4}\right)\right\} \\[1cm]=^\dagger \mathrm{tr}\left\{\left(F^1 F^1\frac{{(\tau}^1)^2}{4}+F^2 F^2\frac{{(\tau}^2)^2}{4}+F^3 F^3\frac{{(\tau}^3)^2}{4}\right)\right\} \\[1cm]=\frac{1}{4}\vec{F}_{\mu\nu}\cdot\vec{F}^{\mu\nu}\mathrm{tr}\{\mathbb{1}_{2\times2}\} \\[1cm]=\frac{1}{2}\vec{F}_{\mu\nu}\cdot\vec{F}^{\mu\nu}.$$

Die Beziehung

$$\tau_a \tau_b = i\sum_c\varepsilon_{a b c}\,\tau_c + \delta_{a b}I$$ verwendet wurde $\dagger.$

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* Lorentz-Indizes werden unterdrückt, um keine Unordnung zu verursachen.