Modi einer QFT und irreduzible Darstellung der Eichgruppe

Dies bezieht sich auf die Berechnung in Abschnitt 3.3 ab Seite 20 dieses Papiers .

  • Ich bin auf ein Argument gestoßen, das zu besagen scheint, dass die "Beschränkung des Gaußschen Gesetzes" die Eichtheorie auf kompakten Räumen erzwingt, so dass physikalische Zustände, über die sich die Partitionsfunktion summiert, eichinvariant sind.

Ich würde gerne Erklärungen für das obige Argument hören.

  • Auch das Obige scheint (für mich ziemlich unoffensichtlich) zu dem Schluss zu führen, dass diese physikalischen Zustände Spuren von Produkten von Operatoren entsprechen, die auf das Vakuum des Fock-Raums einwirken. Mir ist nicht klar, wie dieser Trace so definiert wird, dass er auch nach dem Tracen ein Operator bleibt.

{Sehr oft scheint man zu wollen, dass diese Operatoren in der "Adjungierten von" der Eichgruppe stehen. Der Sinn und die Motivation dieser Forderung ist mir nicht klar. (Ich bin mit dem Begriff der adjungierten Darstellung von Lie-Gruppen vertraut)}

  • Im Zusammenhang mit dem oben Gesagten sehe ich eine weitere Behauptung, die zu besagen scheint, dass masselose Modi für jede Eichgruppe Yang-Mills Theorie und jeden Materieinhalt fehlen werden, wenn sich die Theorie auf einem kompakten Raum befindet. Ist das oben Richtige? Warum (ob ja oder nein)?

  • Ist in solchen Szenarien die Terminologie von "Grundanregungen" einer Theorie dasselbe wie von Einzelteilchenzuständen? Wie hängen diese Einzelteilchenzustände im Allgemeinen mit den oben konstruierten physikalischen Zuständen zusammen?

Auf welche davon wird Bezug genommen, wenn von "Modi" einer QFT gesprochen wird?

  • Wenn es per Definition eine Eichsymmetrie gibt, pendelt sie mit dem Hamilton-Operator, und daher bilden die Zustände der Theorie auf jedem Energieniveau eine Darstellung der Eichgruppe. Kann etwas über seine Reduzierbarkeit gesagt werden oder nicht?

Die Behauptung scheint zu sein, dass, wenn die da sind, zu sagen n E Quanten auf der Energieebene E (Umwandlung unter sagen wir Repräsentation R E der Eichgruppe), dann muss der Bolzman-Faktor beim Zählen seines Beitrags zur Partitionsfunktion weiter mit der Anzahl von gewichtet werden 1 dimensionale Darstellungen ("Singlets" ?) in der n -fache symmetrische (für Bosonen) oder die antisymmetrische (für Fermionen) Tensorstärke von R E .

Ich würde mich über Erklärungen zu dem oben Gesagten freuen.

Vielleicht übersehe ich etwas Offensichtliches, aber müssen physikalische Zustände in einer Eichtheorie nicht immer eichinvariant sein?

Antworten (1)

Es sind viele Fragen, aber sie haben ziemlich einfache Antworten, also hier sind sie:

  • Das Gaußsche Gesetz ist gerecht div  D → = ρ in der Elektrodynamik. Beachten Sie, dass es keine Zeitableitungen enthält, also ist es nicht wirklich eine Gleichung, die die Evolution beschreibt: Es ist eine Gleichung, die die zulässigen Anfangsbedingungen einschränkt. Allgemeiner gesagt ist es die Bewegungsgleichung, die Sie erhalten, indem Sie die Lagrange-Funktion in Bezug auf variieren EIN 0 , die Zeitkomponente des Eichfelds, so zählt die entsprechende Bewegungsgleichung die Divergenz des elektrischen Felds abzüglich der elektrischen Quellen (Ladungsdichte), die gleich sein müssen. Dieser Unterschied ist nichts als der Generator des Ganzen U ( 1 ) Gruppe oder jede andere Gruppe, wenn Sie allgemeinere Theorien betrachten, so wird die obige klassische Gleichung zur Quantengleichung befördert, in der ( div  D → − ρ ) | ψ ⟩ = 0 was nur bedeutet, dass der Staat | ψ ⟩ ist eichinvariant.

  • Die Spuren, auf die Sie hier stoßen – in nicht-Abelschen Theorien – sind nur Spuren über fundamentalen (oder seltener adjungierten) Indizes der Yang-Mills-Gruppe. Sie unterscheiden sich von Spuren über dem Hilbert-Raum. Sie müssen verschiedene Arten von Indizes unterscheiden. Das Verfolgen einiger Farbindizes ändert nichts an der Tatsache, dass Sie immer noch Operatoren haben.

  • "Adjungiert einer Eichgruppe" ist eindeutig dasselbe wie "Adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe, die für die Eichgruppe verwendet wird".

  • Es ist nicht wahr, dass alle kompakten Räume alle masselosen Felder eliminieren – zum Beispiel bleibt die Wilson-Linie eines Eichfelds ein perfekt masseloses Skalarfeld bei toroidalen Kompaktifizierungen in supersymmetrischen Theorien – aber in den meisten anderen, generischen Fällen ist es wahr, dass die Kompaktifizierung die Masselosigkeit zerstört aller Felder. Alle Fourier- (oder Nicht-Null-Normal-)Komponenten der Felder, die nicht trivialerweise von den zusätzlichen Dimensionen abhängen – die Kaluza-Klein-Modi – werden aufgrund des zusätzlichen Impulses in den zusätzlichen Dimensionen massiv. Aber auch die "Nullmoden" werden in allgemeinen Theorien wegen der aus der Verdichtung resultierenden Casimir-ähnlichen Potentiale massiv.

  • Grundanregungen sind nicht „das Gleiche“ wie Ein-Teilchen-Zustände. Tatsächlich wollen wir das Wort „Anregung“ genau in dem Zusammenhang verwenden, in dem es darum geht, beliebige Mehrteilchenzustände zu beschreiben. Aber die grundlegenden Erregungen sind nur die Erzeugungsoperatoren (und die entsprechenden Vernichtungsoperatoren), die durch Fourier-Transformation der Felder konstruiert wurden, die in der Lagrange-Funktion erscheinen oder auf ähnliche Weise elementar sind.

  • Sie haben oben keine "spezifischen Zustände" konstruiert, daher kann ich Ihnen nicht sagen, wie einige andere Zustände, die Sie nicht beschrieben haben, zusammenhängen. Insofern blieb Ihre Frage vage. Alle von ihnen sind einige Zustände mit Teilchen auf dem Hilbert-Raum - aber so ziemlich alle Zustände können auf diese Weise klassifiziert werden.

  • Eine Mode eines Quantenfelds ist der Begriff in einer Art Fourier-Zerlegung oder – für allgemeinere Verdichtungen und Hintergründe – ein anderer Begriff (wie die Kugelharmonische), der ein Eigenzustand der Energie ist, dh der sich entwickelt als exp ⁡ ( E n t / ich ℏ ) mit der Zeit. Also zum Beispiel ein Feld X ( σ ) für eine Periode σ kann als folgende Summe geschrieben werden. Die einzelnen Konditionen für eine feste n - oder der Faktor X n oder die Funktion, die es multipliziert (diese Terminologie hängt etwas vom Kontext ab) - werden Modi genannt.

    ∑ n ∈ Z X n exp ⁡ ( ich n σ − ich | n | τ )

  • Die Eichsymmetrie muss mit dem Hamiltonoperator pendeln, weil wir die Eich-nicht-invarianten Zustände verbieten wollen, und indem wir sie im Anfangszustand verbieten, müssen sie auch im Endzustand fehlen. Es muss also eine Symmetrie sein. Andererseits ist die Darstellungstheorie trivial, weil wir, wie ich ganz am Anfang sagte, eichinvariante physikalische Zustände fordern; das war der Kommentar zum Gaußschen Gesetz: Zustände müssen von allen Operatoren des Typs vernichtet werden div  D → − ρ die an verschiedenen Stellen nur Erzeuger der Spurgruppe sind. Mit anderen Worten, alle physikalischen Zustände müssen Singuletts unter der Eichgruppe sein. Deshalb ist der Begriff „Symmetrie“ etwas irreführend: Manche sprechen lieber von „Eichenredundanz“. Der Hilbert-Raum ist also sicherlich vollständig reduzierbar - auf eine beliebige Anzahl von Singuletts. Sie können es auf die kleinsten Teile reduzieren, die in der linearen Algebra existieren - eindimensionale Räume.

  • Ich habe Ihnen gerade noch einmal erklärt, warum alle physikalischen Zustände Singuletts unter der Eichgruppe sind. Die Tatsache, dass n -Teilchenzustände mit identischen Teilchen sind vollständig symmetrisch oder vollständig antisymmetrisch reduziert sich auf die grundlegende Erkenntnis, dass in der Quantenfeldtheorie Teilchen identisch sind und ihre Wellenfunktion symmetrisch oder antisymmetrisch (für Bosonen und Fermionen) sein muss, weil die entsprechenden Erzeugungsoperatoren kommutieren (bzw Antipendeln) miteinander.

@Lubos Vielen Dank für diese schöne Erklärung. Sie scheinen zu argumentieren, dass die Eichinvarianz jeden der "physikalischen Zustände" (über die sich die Partitionsfunktion summiert) zwingt, in 1-dimensionalen Unterdarstellungen der Eichgruppe auf entsprechend symmetrisierter Tensorleistung von Ein-Teilchen-Hilbert-Räumen zu liegen. rechts? Können Sie bitte bestätigen, ob mein Verständnis richtig ist?
@Lubos Eine Sammlung von n Fermionen auf einem bestimmten Energieniveau kann also in jeder der 1-dimensionalen Unterdarstellungen der Eichgruppe auf der n-fachen antisymmetrischen Tensorleistung des Hilbert-Zustandsraums einer der liegen Fermionen. Diese verschiedenen Singuletts von n Fermionen sind also in keiner Weise zu unterscheiden?
@Lubos Können Sie erklären, wie sich dieser Begriff der eichinvarianten "physikalischen Zustände" (die eine beliebige Anzahl von Teilchen enthalten können) von der Terminologie der "Anregungen" unterscheidet, die anscheinend auch Mehrteilchenzustände enthalten.
@Lubos Auch wenn Sie ein Beispiel für die richtige Schreibweise der Indizes der QFT-Operatoren unter Berücksichtigung ihrer Eich-Indizes und Hilbert-Raum-Indizes geben könnten, damit klar ist, dass das Verfolgen der ersten Art immer noch Operatoren hinterlässt.
Lieber @Anirbit, ich hoffe, dass deine Interpretation richtig ist, obwohl du vielleicht etwas versteckst, was ich nicht sehen kann. ;-) Sie zerlegen einfach jede Möchtegern-Darstellung der Eichgruppe in irreduzible Wiederholungen und physische Zustände können nur die Singuletts sein. Ich verstehe nicht ganz, was die Eichinvarianz mit der identischen Natur von Fermionen zu tun hat, das sind zwei unabhängige Regeln. Die Messinvarianz schränkt die physikalischen Zustände "lokal" ein, aber wenn Sie mehrere Fermionen an verschiedenen Orten erzeugen, ist die Gesamtwellenfunktion immer noch antisymmetrisch.
Lieber Anirbit, wir schreiben niemals Operatoren in QFT - und tatsächlich nicht einmal in QM - mit ihren "Hilbert-Raum-Indizes". Die Tatsache, dass es sich um Operatoren handelt, wird manchmal durch einen Hut über dem Symbol (Buchstabe) gekennzeichnet, oft aber auch weggelassen. Es ist das ganze Ziel, von „Operatoren“ und nicht von „Matrizen“ zu sprechen, damit wir die Gleichungen unabhängig von den Basen machen können, sodass wir nicht die ganze Zeit über bestimmte Matrixelemente sprechen müssen. Z.B a † ( k ) ist ein Erstellungsoperator, der bestimmte Matrixelemente in Bezug auf jede Basis hat, aber wir müssen nicht immer alle diese Zahlen schreiben.
Spuren können immer noch Spuren über die Eichgruppenindizes und/oder über den Hilbert-Raum sein (und eine Spur eines Operators ist immer unabhängig von der Wahl der Basis!), und Sie müssen aus dem Kontext oder der detaillierten Notation herausfinden - "tr " vs "Tr" und so weiter - welches ist was. Zum Beispiel, Tr  ( ρ . . . ) ist immer eine Spur über dem Hilbert-Raum, während Spuren mit vielen F μ v oder EIN μ innen sind wohl spuren über den spurgruppenindizes. Sie fragen nach einer Notation - die abweichen kann.
@Lubos Sollte ich mir vorstellen, dass die Operatoren dann auf ein Tensorprodukt des Hilbert-Raums und die Darstellung der Eichgruppe wirken? Das Verfolgen in diesem Sinne würde also bedeuten, die spätere Komponente des Tensorprodukts zu verfolgen? In Bezug auf Ihren ersten Kommentar meinte ich, dass die Forderung der Eichinvarianz an die "physikalischen Zustände" durch die Bestimmung der Darstellung, deren symmetrische oder antisymmetrische Tensorleistung untersucht werden sollte, eine Rolle spielt.
Lieber Anirbit, anhand deiner Frage kann ich nicht feststellen, von welcher Spur du sprichst, also kann ich dir nicht sagen, was du verfolgst. Du solltest es wissen. Es hängt von "der Situation" ab, aber Sie haben mir nicht gesagt, wie die Situation ist. Bei den Tensorprodukten bewirkt die Eichinvarianz das Entfernen unphysikalischer Polarisationen des Photons (und ähnlich Gluonen, W/Z-Bosonen und Gravitonen in GR). Die Eichinvarianz hat Generatoren "an jedem Punkt", was effektiv impliziert, dass jedes einzelne Photon in einem Mehrkörperzustand separat Eich-invariant sein muss. War es das, was du fragst?
@Lubos Motl Kannst du etwas näher darauf eingehen, warum das Gaußsche Gesetz (Bewegungsgleichungen von EIN 0 ) erzwingt die Farbsingulettbedingung nur auf kompaktem Raum (-Zeiten?) Und nicht auf flachem Raum? Also ist die Beschränkung auf kompakten Raum (-mal?) eine Folge des Gaußschen Gesetzes? Und mit Bezug auf das Papier habe ich jetzt verlinkt, was die Definition dieser fundamentalen Energie/Modus ist E ich eines Feldes, das von der Repräsentation total bestimmt zu werden scheint R ich in welchem ​​Feld liegt?
Modi einer QFT und irreduzible Darstellung der Eichgruppe
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