In diesem Artikel von John Preskill et al . wird auf Seite 1 eine Aussage gemacht:
Wir werden eine Eichtheorie mit Fermionen, die sich als komplexe Darstellung der Eichgruppe transformieren, als chirale Eichtheorie bezeichnen, da die Eichsymmetrie eher eine chirale als eine vektorähnliche Symmetrie (wie QCD) ist.
Aber meine Frage ist: Warum impliziert eine komplexe Darstellung einer Eichgruppe eine chirale Eichtheorie ?
Wenn die fundamentale Darstellung von SU (3) eine komplexe Darstellung ist (mit komplex konjugiertem antifundamentalem Rep), dann ist QCD mit fundamentaler Darstellung von SU (3) kein perfektes Gegenbeispiel, bei dem die Eichsymmetrie vektorartig ist, anstatt chiral???
p.s. Sehen Sie sich diese Seite an oder erfahren Sie das im Wiki:
In der Physik ist eine komplexe Darstellung eine Gruppendarstellung einer Gruppe (oder Lie-Algebra) auf einem komplexen Vektorraum, der weder reell noch pseudoreell ist. Mit anderen Worten, die Gruppenelemente werden als komplexe Matrizen ausgedrückt, und das komplexe Konjugat einer komplexen Darstellung ist eine andere, nicht äquivalente Darstellung. Für kompakte Gruppen kann der Frobenius-Schur-Indikator verwendet werden, um festzustellen, ob eine Darstellung reell, komplex oder pseudo-reell ist.
Beispielsweise ist die N-dimensionale fundamentale Darstellung von SU(N) für N größer als zwei eine komplexe Darstellung, deren komplexes Konjugat oft als antifundamentale Darstellung bezeichnet wird.
Diese Antwort kommt extrem spät, aber hoffentlich ist sie für jemanden hilfreich.
Betrachten wir der Einfachheit halber einen Quarkgeschmack. Hier sind zwei unterschiedliche Weyl-Spinoren beteiligt: ein linkschiraler Weyl-Spinor und ein rechtschiraler Weyl-Spinor , die sich beide in die fundamentale Darstellung umwandeln . Intuitiv ist die Theorie nicht chiral, da beide Chiralitäten gleich behandelt werden, aber wie ist dies äquivalent zu Preskills Definition, wann ist komplex?
Beachten Sie einen linkschiralen Weyl-Spinor in einer Darstellung ist genau dasselbe wie ein rechtschiraler Weyl-Spinor in der konjugierten Darstellung (wie ich hier erkläre ). Es ist also von Natur aus mehrdeutig, unter welcher Darstellung sich "die Fermionen" transformieren. Je nachdem, ob ich links-chirale oder rechts-chirale Spinoren verwenden möchte, könnte es sein , , oder .
Die hier verwendete Konvention besteht darin, aus Gründen der Konsistenz alles linkschiral zu machen, genau wie beim Erstellen von GUT-Modellen. Dann ist die Darstellung für das Quark was vollkommen echt ist. Vergleichen Sie dies mit der elektroschwachen Theorie mit , wo sich eine Quark-Generation befinden würde , was komplex ist.
Die von Ihnen zitierte Aussage impliziert nicht, dass eine komplexe Darstellung einer Eichgruppe im Allgemeinen eine chirale Eichtheorie impliziert. Dies gilt nur, wenn die Eichgruppe überhaupt einer chiralen Symmetrie entspricht. Eine chiralsymmetrische Theorie enthält masselose Fermionen.
Zu Ihrem Gegenbeispiel: Es stimmt, dass QCD Fermionen in der komplexen Darstellung der Eichgruppe enthält. Allerdings ist die Eichgruppe in diesem Fall nicht chiral symmetrisch, sondern Farbsymmetrie. Daher ist es möglich, dass die chirale Symmetrie gebrochen wird und Fermionen an Masse gewinnen. Dies kann durch spontane, explizite und anomale Symmetriebrechung geschehen.
Angie38750